京都大学　2026年度　前期日程　文系

第1問積分法の解答・解説

円の接線・6分の1公式・解と係数の関係・平方完成による最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/05

問題文について

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$S$ の最小値を求める

答 $S$ の最小値は $\frac{3}{2}$ （ $t = \frac{1}{2}$ のとき）

方針放物線と直線で囲む面積なので6分の1公式が使える。交点を求めずに、解と係数の関係から $(x_{2} - x_{1})^{2}$ だけを出せばよい。

$P$ は第1象限にあるので $P (1 - t^{2}, t)$ 。 $a = 1 - t^{2}$ とおくと、 $P$ における $C$ の接線は $a x + t y = 1$ 、すなわち $y = \frac{1 - a x}{t}$ 。

放物線との交点の $x$ 座標は

2 - x^{2} = \frac{1 - a x}{t} ⟺ t x^{2} - a x + (1 - 2 t) = 0

解を $x_{1} < x_{2}$ とすると、 $t > 0$ だから $2 - x^{2} - \frac{1 - a x}{t} = (x - x_{1}) (x_{2} - x)$ と書ける。よって6分の1公式から

S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (x - x_{1}) (x_{2} - x) d x = \frac{( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}

解と係数の関係で $x_{1} + x_{2} = \frac{a}{t}, x_{1} x_{2} = \frac{1 - 2 t}{t}$ だから

(x_{2} - x_{1})^{2} = \frac{a ^{2}}{t ^{2}} - \frac{4 ( 1 - 2 t )}{t} = \frac{( 1 - t ^{2} ) - 4 t ( 1 - 2 t )}{t ^{2}} = \frac{7 t ^{2} - 4 t + 1}{t ^{2}}

$7 t^{2} - 4 t + 1$ の判別式は $16 - 28 < 0$ なので、どんな $t$ でも正。つまり交点はつねに2つある。ここで

u = \frac{7 t ^{2} - 4 t + 1}{t ^{2}} = 7 - \frac{4}{t} + \frac{1}{t ^{2}}, v = \frac{1}{t} (> 1)

とおくと $u = v^{2} - 4 v + 7 = (v - 2)^{2} + 3$ 。 $0 < t < 1$ より $v > 1$ で、 $v = 2$ すなわち $t = \frac{1}{2}$ は範囲に入るから $u$ の最小値は $3$ 。

$S = \frac{u ^{3/2}}{6}$ は $u$ の増加関数なので

S_{m i n} = \frac{3 ^{3/2}}{6} = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2}

検算

$t = \frac{1}{2}$ のとき $a = \frac{3}{2}$ で、接線は $y = 2 - 3 x$ 。 $2 - x^{2} = 2 - 3 x$ から交点は $x = 0, 3$ となり、 $S = \frac{( 3 ) ^{3}}{6} = \frac{3}{2}$ 。確かに一致する。

答案で省略しない方がよい点

交点の $x$ 座標を根号で書き下す必要はない。6分の1公式に要るのは $(x_{2} - x_{1})^{2}$ だけ。
$\frac{1}{t}$ を変数に取り替えると、分数のままの式が2次関数になって平方完成できる。 $t$ のまま微分すると手間が増える。
$v > 1$ の範囲に頂点 $v = 2$ が入っていることを確かめる。入っていなければ端点で最小になる。

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S の最小値を求める

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