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京都大学　2025年度　前期日程　文系

第4問微分法・積分法の解答・解説

共通接線・絶対値を含む関数・判別式・面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/11

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度試験問題および出題意図等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $(0, 0)$ と異なる点で $C_{1}$ と接し、さらに $C_{2}$ とも接する直線 $ℓ_{2}$ がただ一つ存在することを示す

答 $ℓ_{2} : y = - x - \frac{9}{4}$ （ $C_{1}$ とは $x = - \frac{3}{2}$ 、 $C_{2}$ とは $x = 2$ で接する）

$C_{1}$ は $x \geq 0$ と $x \leq 0$ で別の放物線になるので、接点の $x$ 座標を $t$ とおいて2つの枝それぞれで接線を書く。 $C_{2}$ との接する条件は判別式 $= 0$ で、 $t$ の2次の項がきれいに消えて1次方程式になる。だから各枝で高々1つしか候補が出ない。

$C_{1}$ は $x \geq 0$ では $y = x^{2} - 2 x$ 、 $x \leq 0$ では $y = x^{2} + 2 x$ である。接点の $x$ 座標を $t (\neq = 0)$ とする。

接線を書く。 $t > 0$ のとき傾きは $2 t - 2$ で、接線は

y = (2 t - 2) (x - t) + t^{2} - 2 t = (2 t - 2) x - t^{2}

である。 $t < 0$ のときは同様に $y = (2 t + 2) x - t^{2}$ である。いずれも切片は $- t^{2}$ になる。

$C_{2}$ と接する条件。 直線 $y = m x + k$ が $C_{2} : y = x^{2} - 5 x + \frac{7}{4}$ と接するのは

x^{2} - (5 + m) x + \frac{7}{4} - k = 0

が重解をもつとき、つまり

(5 + m)^{2} - 4 (\frac{7}{4} - k) = 0 ⟺ (m + 5)^{2} - 7 + 4 k = 0

のときである。

(i) $t > 0$ のとき。 $m = 2 t - 2$ 、 $k = - t^{2}$ を入れると

(2 t + 3)^{2} - 7 - 4 t^{2} = 0 ⟺ 4 t^{2} + 12 t + 9 - 7 - 4 t^{2} = 0 ⟺ 12 t + 2 = 0

で $t = - \frac{1}{6}$ となり、 $t > 0$ に反する。この場合は解なし。

(ii) $t < 0$ のとき。 $m = 2 t + 2$ 、 $k = - t^{2}$ を入れると

(2 t + 7)^{2} - 7 - 4 t^{2} = 0 ⟺ 28 t + 42 = 0 ⟺ t = - \frac{3}{2}

で、これは $t < 0$ をみたす。このとき $m = - 1$ 、 $k = - \frac{9}{4}$ だから

ℓ_{2} : y = - x - \frac{9}{4}

である。

$C_{1}$ と本当に接しているか。 $ℓ_{2}$ は $x \leq 0$ の枝と $x = - \frac{3}{2}$ で接する。もう一方の枝 $y = x^{2} - 2 x$ との連立は

x^{2} - 2 x = - x - \frac{9}{4} ⟺ x^{2} - x + \frac{9}{4} = 0

で判別式が $1 - 9 = - 8 < 0$ だから共有点をもたない。よって $ℓ_{2}$ は $C_{1}$ と $x = - \frac{3}{2}$ の1点だけで接する。

以上より、条件をみたす直線は $ℓ_{2} : y = - x - \frac{9}{4}$ ただ一つである。

C_{1} : y = x^{2} - 2∣ x ∣

、

C_{2} : y = x^{2} - 5 x + \frac{7}{4}

と共通接線

ℓ_{2} : y = - x - \frac{9}{4}

。

C_{1}

とは

(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{4})

、

C_{2}

とは

(2, - \frac{17}{4})

で接する。

$x = - \frac{3}{2}$ で $C_{1}$ の値は $\frac{9}{4} - 3 = - \frac{3}{4}$ 、 $ℓ_{2}$ の値は $\frac{3}{2} - \frac{9}{4} = - \frac{3}{4}$ で一致し、 $C_{1}$ （ $x \leq 0$ の枝）の傾きは $2 (- \frac{3}{2}) + 2 = - 1$ で $ℓ_{2}$ の傾きと一致する。 $C_{2}$ との連立は $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ で重解になる。

$C_{1}$ は $x = 0$ で折れているので、枝ごとに分けて接線を立てる。1本の式 $y = x^{2} - 2∣ x ∣$ のまま微分しない。

判別式 $= 0$ に代入すると $t^{2}$ の項が打ち消し合って1次方程式になる。この「2次が消える」ことが、各枝で高々1本という結論の理由である。

$t > 0$ の枝から出た $t = - \frac{1}{6}$ は、枝の条件に反するので捨てる。式の上では解が出るので、符号の確認を忘れない。

求めた直線が $C_{1}$ のもう一方の枝と交わらないことまで見る。交わってしまうと「接する」とは言いにくい形になる。

(2) $C_{1}$ の $α \leq x \leq \frac{3}{2}$ の部分、線分 $PQ$ 、線分 $QR$ で囲まれる図形の面積を求める

答 $\frac{9}{2}$

3点の座標を出すと、図形は「上が $C_{1}$ 、下が $ℓ_{2}$ 、右が直線 $x = \frac{3}{2}$ 」で囲まれた縦に切れる形だとわかる。 $C_{1}$ が $x = 0$ で式を変えるので、積分を $x \leq 0$ と $x \geq 0$ で分ける。左半分は $(x + \frac{3}{2})^{2}$ というきれいな形になる。

(1) より $α = - \frac{3}{2}$ である。各点の座標は

P (- \frac{3}{2}, - \frac{3}{4}), Q (\frac{3}{2}, - \frac{15}{4}), R (\frac{3}{2}, - \frac{3}{4})

である（ $Q$ は $ℓ_{1} : x = \frac{3}{2}$ と $ℓ_{2}$ の交点で $y = - \frac{3}{2} - \frac{9}{4} = - \frac{15}{4}$ 、 $R$ は $x = \frac{3}{2} \geq 0$ なので $C_{1}$ の右の枝で $y = \frac{9}{4} - 3 = - \frac{3}{4}$ ）。

囲まれ方。 線分 $PQ$ は $ℓ_{2}$ の一部、線分 $QR$ は $ℓ_{1}$ の一部である。 $- \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$ で

x \leq 0 x \geq 0 : (x^{2} + 2 x) - (- x - \frac{9}{4}) = x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^{2} \geq 0 : (x^{2} - 2 x) - (- x - \frac{9}{4}) = x^{2} - x + \frac{9}{4} > 0

なので、この範囲では $C_{1}$ がつねに $ℓ_{2}$ の上側にある。したがって図形は

{(x, y) - \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}, - x - \frac{9}{4} \leq y \leq x^{2} - 2∣ x ∣}

である（左端 $x = - \frac{3}{2}$ では上下の境界が $P$ で一致する）。

積分する。

\int_{- \frac{3}{2}}^{0} (x + \frac{3}{2})^{2} d x = [\frac{( x + \frac{3}{2} ) ^{3}}{3}]_{- \frac{3}{2}}^{0} = \frac{1}{3} (\frac{3}{2})^{3} = \frac{9}{8}

\int_{0}^{\frac{3}{2}} (x^{2} - x + \frac{9}{4}) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{9}{4} x]_{0}^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{8} - \frac{9}{8} + \frac{27}{8} = \frac{27}{8}

なので、面積は

\frac{9}{8} + \frac{27}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}

である。

求める図形。上の境界は

C_{1}

（

x = 0

で折れる）、下の境界は線分

PQ

（

ℓ_{2}

の一部）、右の境界は線分

QR

（

ℓ_{1} : x = \frac{3}{2}

の一部）。面積は

\frac{9}{2}

。

$- \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{3}{2}$ で $(x^{2} - 2∣ x ∣) - (- x - \frac{9}{4})$ を $200$ 万点の台形則で数値積分すると $4.500000000$ となり、 $\frac{9}{2}$ と一致する。 $P, Q, R$ の $y$ 座標も $- 0.75, - 3.75, - 0.75$ で合っている。

$C_{1}$ は $x = 0$ で式が変わるので、積分区間を $[- \frac{3}{2}, 0]$ と $[0, \frac{3}{2}]$ に分ける。分けずに $x^{2} - 2 x$ のまま通すと値がずれる。

左半分の被積分関数が $(x + \frac{3}{2})^{2}$ になるのは、 $ℓ_{2}$ が $x = - \frac{3}{2}$ で $C_{1}$ に接しているからである。接しているところでは差が重解をもつ。

$R$ は $C_{1}$ の右の枝の上の点である。 $x = \frac{3}{2} > 0$ なので $y = x^{2} - 2 x$ を使う。

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(1)(0,0) と異なる点で C1​ と接し、さらに C2​ とも接する直線 ℓ2​ がただ一つ存在することを示す

(2)C1​ の α≤x≤23​ の部分、線分 PQ、線分 QR で囲まれる図形の面積を求める

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