第2問 整式の解答・解説

$f(x)=p{x}^2+qx+r$（$p\ne 0$）とおく。$u=f(x)$ と書くと $f(f(x))=p{u}^2+qu+r$ である。

$x^4$ の係数。 $u^2$ の $x^4$ の係数は $p^2$ なので、$f(f(x))$ の $x^4$ の係数は $p^3$ である。これが $\frac{1}{8}$ だから

である（$p$ は実数なので立方根は1つ）。以下 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+qx+r$ とする。

展開する。 $u=\frac{1}{2}{x}^2+qx+r$ より

なので

である。

係数を比べる。 $f(f(x))+c$ が $\frac{1}{8}{x}^4+a{x}^3+b{x}^2$ に一致する条件は

1. $x^3$ の係数：$a=\frac{q}{2}$、すなわち $q=2a$。
2. $x^2$ の係数：$b=\frac{q^2+q+r}{2}$。
3. $x^1$ の係数：$qr+q^2=0$、すなわち $q(q+r)=0$。
4. 定数項：$\frac{r^2}{2}+qr+r+c=0$。これは $c$ を決めるだけなので、$q,r$ には制限を与えない。

である。$q(q+r)=0$ で場合分けする。

(i) $q=0$ のとき。 $a=0$ で、$b=\frac{0+0+r}{2}=\frac{r}{2}$ である。$r$ は自由なので $b$ はすべての実数をとる。つまり $a=0$、$b$ は任意。

(ii) $q\ne 0$ のとき。 $r=-q$ で、$b=\frac{q^2+q-q}{2}=\frac{q^2}{2}$ である。$q=2a\ne 0$ を入れると

である。

まとめる。 逆に (i)(ii) の $(a,b)$ に対しては、上の $q,r$ と $c=-\left(\frac{r^2}{2}+qr+r\right)$ をとれば条件がみたされる。放物線 $b=2a^2$ の $a=0$ にあたる点 $(0,0)$ は (i) に含まれているので、求める集合は

すなわち $b$ 軸と放物線 $b=2a^2$ を合わせたものである。