第5問空間ベクトルの解答・解説

平面のベクトル方程式・1次独立・定点通過・係数の和が1当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度試験問題および出題意図等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

$\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ をみたす範囲で $s, t, u$ が動くとき、平面 $LMN$ が $s, t, u$ によらない定点を通ることを示す

答 $OX = \frac{1}{4} OA + \frac{1}{2} OB + \frac{3}{4} OC$ で定まる点 $X$ を通る

平面 $LMN$ 上の点は $α OL + β OM + γ ON$ （ $α + β + γ = 1$ ）と書ける。これを $OA, OB, OC$ で表すと係数が $α s, β t, γ u$ になるので、「係数の和が $1$ 」という条件が与えられた $\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ と同じ形になるように、定点の係数を選べばよい。

$O, A, B, C$ は同一平面上にないので $OA, OB, OC$ は1次独立である。 $s, t, u \neq = 0$ だから $OL = s OA$ 、 $OM = t OB$ 、 $ON = u OC$ も1次独立で、とくに $L, M, N$ は同一直線上になく、平面 $LMN$ がただ1つ定まる。

平面上の点の表し方。 点 $X$ が平面 $LMN$ 上にあることは

OX = α OL + β OM + γ ON, α + β + γ = 1

をみたす実数 $α, β, γ$ があることと同値である。これは

OX = α s OA + β t OB + γ u OC

ということである。

定点を見つける。 与えられた条件を $4$ で割ると

\frac{\frac{1}{4}}{s} + \frac{\frac{1}{2}}{t} + \frac{\frac{3}{4}}{u} = 1

となる。そこで点 $X$ を

OX = \frac{1}{4} OA + \frac{1}{2} OB + \frac{3}{4} OC

で定める。これは $s, t, u$ によらない1つの点である。

α = \frac{1}{4 s}, β = \frac{1}{2 t}, γ = \frac{3}{4 u}

とおけば $α s = \frac{1}{4}$ 、 $β t = \frac{1}{2}$ 、 $γ u = \frac{3}{4}$ であり、しかも

α + β + γ = \frac{1}{4} (\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u}) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1

をみたす。したがって $X$ は平面 $LMN$ 上にある。 $s, t, u$ の取り方によらず同じ $X$ なので、平面 $LMN$ は定点 $X$ を通る。

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \neq = 1$ なので、 $X$ は平面 $ABC$ の上にはない。「定点」は $A, B, C$ の重心のような分かりやすい点とは限らない。

$\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ をみたす $(s, t, u)$ を $20$ 万組ランダムに作り、 $α = \frac{1}{4 s}$ 、 $β = \frac{1}{2 t}$ 、 $γ = \frac{3}{4 u}$ を計算すると、 $α + β + γ$ はすべて $1$ （誤差 $1 0^{- 9}$ 未満）になった。たとえば $s = t = u = \frac{3}{2}$ は条件をみたし、 $α = \frac{1}{6}$ 、 $β = \frac{1}{3}$ 、 $γ = \frac{1}{2}$ で和は $1$ である。

$α + β + γ = 1$ が「平面上にある」ことの条件である。これを落とすと空間全体を表してしまう。

$\frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$ の右辺 $4$ で割って $1$ にそろえる、という一手が要点である。係数 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}$ はこの割り算から出てくる。

$s, t, u \neq = 0$ なので $α, β, γ$ は定義できる。 $L, M, N$ が $O$ に一致しないことも、ここから従う。

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s1​+t2​+u3​=4 をみたす範囲で s,t,u が動くとき、平面 LMN が s,t,u によらない定点を通ることを示す

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