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京都大学　2025年度　前期日程　文系

第1問指数・対数／整数の解答・解説

対数をとる・多項式の割り算・約数の評価・恒等式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は京都大学が公開しています。

掲載ページ名「令和7年度試験問題および出題意図等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

問1 $202 5^{x} = 3^{y} = 5^{z}$ のとき $2 x y + 4 x z - y z = 0$ を示す

答 $2025 = 3^{4} \cdot 5^{2}$ より $lo g$ をとって $x (4 lo g 3 + 2 lo g 5) = y lo g 3 = z lo g 5$ とし、 $\frac{4}{y} + \frac{2}{z} = \frac{1}{x}$ を通分する

$3$ 乗や $5$ 乗が混ざった等式なので、対数をとって $lo g 3$ と $lo g 5$ の1次式に直すのが筋である。 $2025$ を素因数分解すると $3$ と $5$ だけで書けるので、 $lo g 3, lo g 5$ の2つだけで話が閉じる。値が $1$ のとき（ $x = y = z = 0$ ）は別に扱う。

$2025 = 81 \cdot 25 = 3^{4} \cdot 5^{2}$ である。共通の値を $N = 202 5^{x} = 3^{y} = 5^{z}$ とおく。 $N > 0$ である。

$N = 1$ のとき。 $3^{y} = 1$ より $y = 0$ 、 $5^{z} = 1$ より $z = 0$ 、 $202 5^{x} = 1$ より $x = 0$ である。このとき $2 x y + 4 x z - y z = 0$ は明らかに成り立つ。

$N \neq = 1$ のとき。 自然対数をとると $lo g N \neq = 0$ で

x lo g 2025 = y lo g 3 = z lo g 5 = lo g N (\neq = 0)

である。とくに $x, y, z$ はどれも $0$ ではない。 $lo g 2025 = 4 lo g 3 + 2 lo g 5$ なので

lo g 3 = \frac{lo g N}{y}, lo g 5 = \frac{lo g N}{z}

を1本目に入れると

x (\frac{4 lo g N}{y} + \frac{2 lo g N}{z}) = lo g N

となる。 $lo g N \neq = 0$ で割って

x (\frac{4}{y} + \frac{2}{z}) = 1 ⟺ x \cdot \frac{4 z + 2 y}{y z} = 1

である。両辺に $y z (\neq = 0)$ を掛けると

4 x z + 2 x y = y z ⟺ 2 x y + 4 x z - y z = 0

を得る。どちらの場合も成り立つので、示された。

係数 $2$ と $4$ は、 $2025 = 3^{4} \cdot 5^{2}$ の指数 $4$ と $2$ が入れ替わって現れたものである。 $\frac{4}{y} + \frac{2}{z} = \frac{1}{x}$ を通分すると $2 x y + 4 x z = y z$ になる、という形で覚えておくと見通しがよい。

$x = 1$ なら $y = lo g_{3} 2025 = 6.929947$ 、 $z = lo g_{5} 2025 = 4.730425$ で、 $2 \cdot 1 \cdot y + 4 \cdot 1 \cdot z - y z = 13.859894 + 18.921700 - 32.781594 = 0$ である。 $- 3 \leq x \leq 3$ を $6000$ 点で調べても、すべて $0$ になった。

$N = 1$ （ $x = y = z = 0$ ）の場合を落とさない。このとき対数をとって割る操作ができないので、先に分けておく。

$lo g$ の底は何でもよい。 $lo g_{3}$ でとると $lo g_{3} 5$ が残るので、自然対数か常用対数のほうが扱いやすい。

問2 $n^{4} + 6 n^{2} + 23$ が $n^{2} + n + 3$ で割り切れる正の整数 $n$ をすべて求める

答 $n = 1, 2, 11$

多項式として割り算してしまうのがいちばん速い。余りが1次式になるので、「 $n^{2} + n + 3$ がその1次式を割り切る」という条件になり、大きさの比較で $n$ が絞れる。

多項式の割り算をすると

n^{4} + 6 n^{2} + 23 = (n^{2} + n + 3) (n^{2} - n + 4) + (11 - n)

である。 $n^{2} - n + 4$ は整数なので、割り切れる条件は

n^{2} + n + 3 が 11 - n を割り切る

ことである。

$n = 11$ のとき。 $11 - n = 0$ で、 $0$ はどんな整数でも割り切れるから条件をみたす。

$n \neq = 11$ のとき。 $11 - n \neq = 0$ なので、割り切れるなら

n^{2} + n + 3 \leq ∣ 11 - n ∣

でなければならない。

$1 \leq n \leq 10$ ： $∣11 - n ∣ = 11 - n$ なので $n^{2} + n + 3 \leq 11 - n$ 、つまり $n^{2} + 2 n - 8 \leq 0$ 、 $(n + 4) (n - 2) \leq 0$ より $n \leq 2$ 。 $n = 1, 2$ が候補。
$n \geq 12$ ： $∣11 - n ∣ = n - 11$ なので $n^{2} + n + 3 \leq n - 11$ 、つまり $n^{2} + 14 \leq 0$ となり不可能。

候補を確かめる。

n = 1 n = 2 : n^{2} + n + 3 = 5, 11 - n = 10 \Rightarrow 5 ∣ 10 ◯ : n^{2} + n + 3 = 9, 11 - n = 9 \Rightarrow 9 ∣ 9 ◯

よって求める $n$ は

n = 1, 2, 11

である。

実際に割ると $n = 1$ で $\frac{30}{5} = 6$ 、 $n = 2$ で $\frac{63}{9} = 7$ 、 $n = 11$ で $\frac{15390}{135} = 114$ である。

$n = 1$ から $4999$ まで $n^{4} + 6 n^{2} + 23$ を $n^{2} + n + 3$ で割った余りを計算すると、 $0$ になるのは $n = 1, 2, 11$ だけだった。恒等式 $n^{4} + 6 n^{2} + 23 = (n^{2} + n + 3) (n^{2} - n + 4) + (11 - n)$ も $- 20 \leq n \leq 49$ のすべてで成り立つ。

$n = 11$ （余りが $0$ になる場合）を忘れやすい。「割り切る」の条件を $n^{2} + n + 3 \leq ∣11 - n ∣$ だけで書くと、 $11 - n = 0$ の場合が落ちる。

$n \geq 12$ も調べる。 $∣11 - n ∣$ の絶対値を外すときに場合分けが要る。

割り算の商 $n^{2} - n + 4$ は、組立除法ではなく筆算で順に出す。 $n^{4} + 0 \cdot n^{3} + 6 n^{2} + 0 \cdot n + 23$ と $0$ の項を書いておくと間違えにくい。

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問12025x=3y=5z のとき 2xy+4xz−yz=0 を示す

問2n4+6n2+23 が n2+n+3 で割り切れる正の整数 n をすべて求める

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