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京都大学　2025年度　前期日程　文系

第3問確率の解答・解説

倍数判定・漸化式・反復試行・余り当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/11

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度試験問題および出題意図等」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

$n$ 桁の数 $X$ が $6$ で割り切れる確率を求める

答 $\frac{2 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}} (= \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n})$

$6 = 2 \times 3$ なので「末尾が偶数」と「各位の和が $3$ の倍数」に分ける。末尾の条件は最後の1回だけ、和の条件は前の $n - 1$ 回だけで決まるので、独立に扱える。和を $3$ で割った余りは、1回ごとに $+ 1$ か $+ 2$ されるだけなので、3つの状態の確率に漸化式が立つ。

各位の数字は $1$ か $2$ なので、 $X$ が $2$ で割り切れるのは末尾が $2$ のときに限る。また $X$ が $3$ で割り切れるのは各位の和が $3$ の倍数のときである。この2つは

末尾（ $n$ 回目）が $2$ であること
最初の $n - 1$ 個の数字の和を $S$ として、 $S + 2$ が $3$ の倍数、つまり $S \equiv 1 (mod 3)$ であること

に分かれ、 $n$ 回目と最初の $n - 1$ 回は独立である。よって

P = \frac{1}{2} \times P (S \equiv 1 (mod 3))

である。

余りの確率に漸化式を立てる。 $k$ 回目までの和を $3$ で割った余りが $1$ である確率を $v_{k}$ とする（ $v_{0} = 0$ ）。 $1$ 回投げると和は $1$ か $2$ 増えるので、余りが $1$ になるのは「余り $0$ から $+ 1$ 」か「余り $2$ から $+ 2$ 」のときである。余りが $0, 1, 2$ である確率を $u_{k}, v_{k}, w_{k}$ とすれば $u_{k} + v_{k} + w_{k} = 1$ で

v_{k} = \frac{1}{2} (u_{k - 1} + w_{k - 1}) = \frac{1}{2} (1 - v_{k - 1})

となる。 $\frac{1}{3}$ を引くと

v_{k} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (v_{k - 1} - \frac{1}{3})

なので、 $v_{0} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}$ より

v_{k} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{k}

である。

代入する。 $(- \frac{1}{2})^{n - 1} = - 2 (- \frac{1}{2})^{n}$ なので

v_{n - 1} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{1}{2})^{n}

であり

P = \frac{1}{2} v_{n - 1} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n} = \frac{2 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}}

が求める確率である。

$n = 1$ では $0$ （ $1$ も $2$ も $6$ の倍数でない）、 $n = 2$ では $\frac{1}{4}$ （ $12$ だけ）、 $n = 3$ では $\frac{1}{8}$ （ $222$ だけ）である。 $n$ を大きくすると $\frac{1}{6}$ に近づく。

$n = 1, \dots, 8$ について $2^{n}$ 通りをすべて作って $6$ で割り切れるものを数えると、確率は $0, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{3}{16}, \frac{5}{32}, \frac{11}{64}, \frac{21}{128}, \frac{43}{256}$ となり、 $\frac{2 ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}}$ の値と完全に一致する。

$6$ で割り切れる条件を「各位の和が $6$ の倍数」としない。 $3$ の倍数判定は和で、 $2$ の倍数判定は末尾である。

末尾の条件と和の条件は独立だが、和の条件は「全体の和」なので末尾の $2$ も含む。最初の $n - 1$ 個の和の余りが $1$ になる、と言いかえるところを丁寧に書く。

$u_{k}, v_{k}, w_{k}$ を3本とも立てなくても、 $u + v + w = 1$ を使えば $v$ だけの漸化式になる。3本連立のまま解こうとすると遠回りである。

$v_{n - 1}$ を $v_{n}$ と取り違えない。投げる回数は $n$ 回だが、和の条件に効くのは最初の $n - 1$ 回である。

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n 桁の数 X が 6 で割り切れる確率を求める

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