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京都大学　2023年度　前期日程　文系

第5問積分法の解答・解説

定積分と恒等式・未知定数の置き換え・係数比較・連立方程式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$f (x) + \int_{- 1}^{1} (x - y)^{2} f (y) d y = 2 x^{2} + x + \frac{5}{3}$ をみたす整式 $f (x)$ を求める

答 $f (x) = - 3 x + 1$

$(x - y)^{2}$ を展開すると、積分は $x$ について「定数 $\times x^{2}$ ＋定数 $\times x$ ＋定数」の形になる。その3つの定数を $A, B, C$ とおくと、式から $f$ が2次以下の整式だと分かる。 $f$ を $p x^{2} + q x + r$ とおいて $A, B, C$ を $p, q, r$ で書き直せば、連立方程式になる。

$(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ と展開すると

\int_{- 1}^{1} (x - y)^{2} f (y) d y = A x^{2} - 2 B x + C

である。ここで

A = \int_{- 1}^{1} f (y) d y, B = \int_{- 1}^{1} y f (y) d y, C = \int_{- 1}^{1} y^{2} f (y) d y

はいずれも定数である。したがって

f (x) = (2 - A) x^{2} + (1 + 2 B) x + (\frac{5}{3} - C)

となり、 $f$ は2次以下の整式である。そこで $f (x) = p x^{2} + q x + r$ とおく。

$A, B, C$ を $p, q, r$ で書く。 奇関数の $- 1$ から $1$ までの積分は $0$ なので

A B C = \int_{- 1}^{1} (p y^{2} + q y + r) d y = \frac{2}{3} p + 2 r = \int_{- 1}^{1} (p y^{3} + q y^{2} + r y) d y = \frac{2}{3} q = \int_{- 1}^{1} (p y^{4} + q y^{3} + r y^{2}) d y = \frac{2}{5} p + \frac{2}{3} r

である。

係数を比べる。

$x$ の係数： $q = 1 + 2 B = 1 + \frac{4}{3} q$ より $- \frac{1}{3} q = 1$ 、つまり $q = - 3$ 。
$x^{2}$ の係数： $p = 2 - A = 2 - \frac{2}{3} p - 2 r$ より $\frac{5}{3} p + 2 r = 2$ 。
定数項： $r = \frac{5}{3} - C = \frac{5}{3} - \frac{2}{5} p - \frac{2}{3} r$ より $\frac{2}{5} p + \frac{5}{3} r = \frac{5}{3}$ 。

2本目から $r = 1 - \frac{5}{6} p$ で、これを3本目に入れると

\frac{2}{5} p + \frac{5}{3} (1 - \frac{5}{6} p) = \frac{5}{3} ⟹ (\frac{2}{5} - \frac{25}{18}) p = 0 ⟹ - \frac{89}{90} p = 0

となるので $p = 0$ 、したがって $r = 1$ である。よって

f (x) = - 3 x + 1

である。

確かめ。 $f (y) = 1 - 3 y$ のとき $A = 2$ 、 $B = - 2$ 、 $C = \frac{2}{3}$ で

f (x) + 2 x^{2} + 4 x + \frac{2}{3} = (1 - 3 x) + 2 x^{2} + 4 x + \frac{2}{3} = 2 x^{2} + x + \frac{5}{3}

となり、確かに恒等式をみたす。

$f (x) = 1 - 3 x$ として $\int_{- 1}^{1} (x - y)^{2} f (y) d y$ を $200$ 万点の数値積分で求め、 $f (x)$ を足すと、 $x = - 1, - 0.3, 0, 0.7, 2$ のいずれでも $2 x^{2} + x + \frac{5}{3}$ の値（ $2.666667, 1.546667, 1.666667, 3.346667, 11.666667$ ）に一致した。

$A, B, C$ は定数なので、積分の中の $x$ は外に出せる。 $\int (x - y)^{2} f (y) d y$ を「 $x$ の関数」として扱い、 $y$ についてだけ積分することを徹底する。

$f$ が2次以下であることは、仮定ではなく式から従う。「 $f$ を2次式とおく」と書く前に、その理由を一言入れる。

$- 2 B x$ の符号を落とさない。 $(x - y)^{2}$ の中の $- 2 x y$ から来ている。

$p = 0$ なので $f$ は1次式になる。2次の項が残ると思い込んで検算を飛ばさない。

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f(x)+∫−11​(x−y)2f(y)dy=2x2+x+35​ をみたす整式 f(x) を求める

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