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京都大学　2023年度　前期日程　文系

第3問三角関数の解答・解説

2倍角・3倍角・正五角形・cos36°・大小の評価当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $cos 2 θ$ と $cos 3 θ$ を $cos θ$ の式で表す

答 $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ 、 $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$

加法定理から順に出す。 $cos 2 θ$ は $cos (θ + θ)$ 、 $cos 3 θ$ は $cos (2 θ + θ)$ として、 $sin$ が出てきたら $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ で消す。

加法定理より

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = cos^{2} θ - (1 - cos^{2} θ) = 2 cos^{2} θ - 1

である。さらに

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = (2 cos^{2} θ - 1) cos θ - 2 sin^{2} θ cos θ = (2 cos^{2} θ - 1) cos θ - 2 (1 - cos^{2} θ) cos θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

である。

$θ = 6 0^{\circ}$ なら $cos θ = \frac{1}{2}$ で、 $2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = - \frac{1}{2} = cos 12 0^{\circ}$ 、 $4 \cdot \frac{1}{8} - 3 \cdot \frac{1}{2} = - 1 = cos 18 0^{\circ}$ となり合っている。

$sin 2 θ sin θ = 2 sin θ cos θ \cdot sin θ = 2 sin^{2} θ cos θ$ と、 $sin$ を偶数個にしてから $1 - cos^{2} θ$ に置き換える。

(2)半径 $1$ の円に内接する正五角形の一辺の長さが $1.15$ より大きいかを判定する

答一辺は $\frac{5 - 5}{2} = 1.1755 \dots$ で、 $1.15$ より大きい

一辺は中心角 $7 2^{\circ}$ に対する弦なので $2 sin 3 6^{\circ}$ である。 $3 6^{\circ}$ の三角比は、 $3 \times 3 6^{\circ} = 10 8^{\circ} = 18 0^{\circ} - 2 \times 3 6^{\circ}$ という関係から (1) を使って求まる。平方してから比べると根号が1つで済む。

正五角形の一辺は中心角 $\frac{36 0 ^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}$ に対する弦なので、長さは $2 sin 3 6^{\circ}$ である。

$cos 3 6^{\circ}$ を求める。 $θ = 3 6^{\circ}$ とおくと $3 θ = 10 8^{\circ}$ 、 $2 θ = 7 2^{\circ}$ で $3 θ = 18 0^{\circ} - 2 θ$ だから

cos 3 θ = cos (18 0^{\circ} - 2 θ) = - cos 2 θ

である。 $c = cos θ$ とおいて (1) を使うと

4 c^{3} - 3 c = - (2 c^{2} - 1) ⟺ 4 c^{3} + 2 c^{2} - 3 c - 1 = 0

となる。 $c = - 1$ が解なので因数分解できて

(c + 1) (4 c^{2} - 2 c - 1) = 0

である。 $c = cos 3 6^{\circ} > 0$ なので $4 c^{2} - 2 c - 1 = 0$ 、つまり

c = \frac{1 + 5}{4}

である（ $\frac{1 - 5}{4} < 0$ は捨てる）。

一辺を求める。 一辺を $a$ とすると $a = 2 sin 3 6^{\circ}$ で

a^{2} = 4 sin^{2} 3 6^{\circ} = 4 (1 - c^{2}) = 4 - 4 c^{2}

である。 $4 c^{2} = 2 c + 1$ だから

a^{2} = 4 - (2 c + 1) = 3 - 2 c = 3 - \frac{1 + 5}{2} = \frac{5 - 5}{2}

となる。

$1.15$ と比べる。 どちらも正なので平方して比べればよい。

a^{2} - 1.1 5^{2} = \frac{5 - 5}{2} - \frac{529}{400} = \frac{1000 - 200 5 - 529}{400} = \frac{471 - 200 5}{400}

である。 $2005 < 471$ すなわち $5 < 2.355$ を言えばよい。 $2.35 5^{2} = 5.546025 > 5$ なので $5 < 2.355$ であり、 $a^{2} > 1.1 5^{2}$ である。よって

a = \frac{5 - 5}{2} > 1.15

で、一辺は $1.15$ より大きい（実際 $a = 1.1755 \dots$ ）。

半径

1

の円に内接する正五角形。一辺は中心角

7 2^{\circ}

に対する弦で、長さは

2 sin 3 6^{\circ} = \frac{5 - 5}{2} = 1.176

。

$cos 3 6^{\circ} = 0.809016994$ は $\frac{1 + 5}{4} = 0.809016994$ と一致する。一辺 $2 sin 3 6^{\circ} = 1.175570505$ は $\frac{5 - 5}{2} = 1.175570505$ と一致し、 $1.15$ より大きい。 $\frac{5 - 5}{2} = 1.381966$ 、 $1.1 5^{2} = 1.3225$ である。

一辺は $2 sin 3 6^{\circ}$ であって $2 sin 7 2^{\circ}$ ではない。中心角 $7 2^{\circ}$ の弦は、二等辺三角形を半分にして $2 \times 1 \times sin \frac{7 2 ^{\circ}}{2}$ である。

$4 c^{3} + 2 c^{2} - 3 c - 1 = 0$ の解 $c = - 1$ は $θ = 18 0^{\circ}$ にあたるもので、 $3 6^{\circ}$ では使えない。 $c > 0$ で絞る。

$5 < 2.355$ を言うときは、 $2.355$ を平方して $5$ と比べる。 $5 = 2.236 \dots$ と小数を「知っている」だけでは理由にならない。

平方して比べてよいのは両辺が正だからである。一言そえておく。

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(1)cos2θ と cos3θ を cosθ の式で表す

(2)半径 1 の円に内接する正五角形の一辺の長さが 1.15 より大きいかを判定する

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