第1問確率／式の計算の解答・解説

余事象・3乗根の有理化・整式の割り算・反復試行当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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問1さいころを $n$ 回投げたとき、出た目の積が $5$ で割り切れる確率を求める

答 $1 - (\frac{5}{6})^{n}$

$5$ は素数で、 $1$ から $6$ のうち $5$ の倍数は $5$ だけである。だから積が $5$ で割り切れるのは「少なくとも1回 $5$ が出る」ときで、余事象をとるのがいちばん速い。

$5$ は素数なので、積が $5$ で割り切れるのは、因数に $5$ をもつ目が少なくとも1回出るときである。 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ のうち $5$ の倍数は $5$ だけだから、条件は

n 回のうち少なくとも 1 回は 5 が出る

である。余事象は「 $1$ 回も $5$ が出ない」で、各回 $5$ 以外が出る確率は $\frac{5}{6}$ だから

P = 1 - (\frac{5}{6})^{n}

である。

$n = 1$ で $\frac{1}{6}$ 、 $n = 2$ で $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ である。 $n$ を大きくすると $1$ に近づく。

$n = 1, \dots, 6$ について $6^{n}$ 通りの出目をすべて列挙して積が $5$ の倍数になる確率を数えると、 $\frac{1}{6}, \frac{11}{36}, \frac{91}{216}, \frac{671}{1296}, \frac{4651}{7776}, \frac{31031}{46656}$ となり、 $\frac{6 ^{n} - 5 ^{n}}{6 ^{n}} = 1 - (\frac{5}{6})^{n}$ と完全に一致する。

「積が $5$ の倍数」を「積が $5$ 以外の素因数をもたない」などと読み違えない。 $5$ が1回でも出れば、他の目が何であっても積は $5$ の倍数である。

$5$ が素数であることが効いている。たとえば「積が $4$ で割り切れる」なら、 $2$ が2回出る場合なども数えることになり、余事象だけでは済まない。

問2 $\frac{55}{2 3 9 + 3 3 + 5}$ の分母を有理化する

答 $\frac{19 + 7 3 3 - 9 3 9}{2}$

$t = 33$ とおくと $t^{3} = 3$ 、 $39 = t^{2}$ で、分母は $t$ の2次式になる。かける相手も $t$ の2次式 $a t^{2} + b t + c$ とおき、 $t^{3} = 3$ 、 $t^{4} = 3 t$ を使って展開してから、 $t^{2}$ と $t$ の係数が消えるように $a, b, c$ を決める。

$t = 33$ とおく。 $t^{3} = 3$ 、 $t^{4} = 3 t$ 、 $39 = t^{2}$ なので、分母は $2 t^{2} + t + 5$ である。

かける式を探す。 $a t^{2} + b t + c$ を掛けて展開し、 $t^{3} = 3$ 、 $t^{4} = 3 t$ で次数を下げると

(2 t^{2} + t + 5) (a t^{2} + b t + c) = (5 a + b + 2 c) t^{2} + (6 a + 5 b + c) t + (3 a + 6 b + 5 c)

となる。 $t^{2}$ と $t$ の係数を $0$ にすればよいので

{5 a + b + 2 c = 0 6 a + 5 b + c = 0

を解く。1本目から $b = - 5 a - 2 c$ 、これを2本目に入れると $6 a - 25 a - 10 c + c = - 19 a - 9 c = 0$ で $c = - \frac{19}{9} a$ である。 $a = 9$ ととると

a = 9, c = - 19, b = - 45 + 38 = - 7

となる。このとき定数項は

3 a + 6 b + 5 c = 27 - 42 - 95 = - 110

なので

(2 t^{2} + t + 5) (9 t^{2} - 7 t - 19) = - 110

である。

有理化する。 分母・分子に $9 t^{2} - 7 t - 19$ を掛けると

\frac{55}{2 t ^{2} + t + 5} = \frac{55 ( 9 t ^{2} - 7 t - 19 )}{- 110} = \frac{- 9 t ^{2} + 7 t + 19}{2}

すなわち

\frac{55}{2 3 9 + 3 3 + 5} = \frac{19 + 7 3 3 - 9 3 9}{2}

である。

$55$ と $110$ の関係から $\frac{1}{2}$ がきれいに残る。問題の分子が $55$ なのはそのためである。

$33 = 1.442250$ 、 $39 = 2.080084$ として、もとの式は $\frac{55}{10.602418} = 5.187496$ 、答えの式は $\frac{19 + 10.095748 - 18.720755}{2} = 5.187496$ で一致する。 $(2 t^{2} + t + 5) (9 t^{2} - 7 t - 19)$ を数値で計算すると $- 110.000000$ になる。