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京都大学　2023年度　前期日程　文系

第4問数列の解答・解説

和と一般項・階差・置き換え・等比数列の和当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$a_{1} = 3$ 、 $a_{n} = \frac{S _{n}}{n} + (n - 1) \cdot 2^{n}$ （ $n \geq 2$ ）をみたす数列の一般項を求める

答 $a_{n} = (n + 1) 2^{n} - 1$

$\frac{S _{n}}{n}$ という形が出ているので、これ自体を新しい数列 $b_{n}$ とおくのが自然である。 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = n b_{n} - (n - 1) b_{n - 1}$ を使うと、 $(n - 1)$ がきれいに約分されて $b_{n} - b_{n - 1} = 2^{n}$ という階差の形になる。

$b_{n} = \frac{S _{n}}{n}$ とおく。 $S_{n} = n b_{n}$ 、 $S_{n - 1} = (n - 1) b_{n - 1}$ なので、 $n \geq 2$ のとき

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = n b_{n} - (n - 1) b_{n - 1}

である。一方、与えられた漸化式は $a_{n} = b_{n} + (n - 1) 2^{n}$ だから

n b_{n} - (n - 1) b_{n - 1} = b_{n} + (n - 1) 2^{n}

すなわち

(n - 1) (b_{n} - b_{n - 1}) = (n - 1) 2^{n}

である。 $n \geq 2$ では $n - 1 \neq = 0$ なので

b_{n} - b_{n - 1} = 2^{n} (n \geq 2)

を得る。

$b_{n}$ を求める。 $b_{1} = \frac{S _{1}}{1} = a_{1} = 3$ である。階差をたし上げると、 $n \geq 2$ で

b_{n} = b_{1} + k = 2 \sum n 2^{k} = 3 + (2^{n + 1} - 4) = 2^{n + 1} - 1

である。 $n = 1$ でも $2^{2} - 1 = 3 = b_{1}$ なので、この式はすべての $n \geq 1$ で成り立つ。よって

S_{n} = n b_{n} = n (2^{n + 1} - 1)

である。

一般項。 $n \geq 2$ のとき

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = n (2^{n + 1} - 1) - (n - 1) (2^{n} - 1) = 2^{n} (2 n - n + 1) - 1 = (n + 1) 2^{n} - 1

である。 $n = 1$ でも $2 \cdot 2 - 1 = 3 = a_{1}$ なので、求める一般項は

a_{n} = (n + 1) 2^{n} - 1 (n \geq 1)

である。

最初の数項は $3, 11, 31, 79, 191, \dots$ である。 $a_{2}$ を確かめると、 $S_{2} = 3 + 11 = 14$ で $\frac{S _{2}}{2} + 1 \cdot 2^{2} = 7 + 4 = 11$ となり合っている。

$S_{n - 1}$ から $a_{n} = \frac{S _{n - 1}}{n - 1} + n \cdot 2^{n}$ の形で順に数値計算すると $3, 11, 31, 79, 191, 447, 1023, 2303, 5119, \dots$ となり、 $(n + 1) 2^{n} - 1$ の値と $n \leq 14$ まで完全に一致する。 $S_{n} = n (2^{n + 1} - 1)$ も同じ範囲で一致した。

$\frac{S _{n}}{n}$ をそのまま $b_{n}$ とおくのが要点である。 $S_{n}$ のままだと $n S_{n} - \dots$ のような重い式になる。

$(n - 1) (b_{n} - b_{n - 1}) = (n - 1) 2^{n}$ から両辺を $n - 1$ で割れるのは $n \geq 2$ のときだけである。 $n = 1$ は $b_{1} = a_{1}$ から別に押さえる。

$\sum_{k = 2}^{n} 2^{k} = 2^{n + 1} - 4$ である。初項が $2^{2} = 4$ であることに注意（ $2^{n + 1} - 2$ ではない）。

最後に $n = 1$ でも成り立つかを確かめる。成り立つので場合分けせずに書ける。

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a1​=3、an​=nSn​​+(n−1)⋅2n（n≥2）をみたす数列の一般項を求める

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