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京都大学　2021年度　前期日程　文系

第2問積分法の解答・解説

絶対値のついた定積分・符号の切れ目・区間の分割当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$\int_{- 1}^{1} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} d x$ を求める

答 $\frac{19}{24}$

絶対値の中身の符号が変わるところで区間を分ける。 $2$ 倍して $2 x^{2} - x - 1 = (2 x + 1) (x - 1)$ と因数分解できるので、切れ目は $x = - \frac{1}{2}$ と $x = 1$ である。 $x = 1$ は区間の右端なので、分けるのは1か所だけで済む。

$f (x) = x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2 x ^{2} - x - 1}{2} = \frac{( 2 x + 1 ) ( x - 1 )}{2}$ である。

$f (x) = 0$ の解は $x = - \frac{1}{2}, 1$ で、下に凸だから

$- 1 \leq x \leq - \frac{1}{2}$ ： $f (x) \geq 0$
$- \frac{1}{2} \leq x \leq 1$ ： $f (x) \leq 0$

である。したがって

\int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} f (x) d x - \int_{- \frac{1}{2}}^{1} f (x) d x

である。原始関数を

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{4} - \frac{x}{2}

とおくと

F (- 1) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = - \frac{1}{12}, F (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{7}{48}, F (1) = - \frac{5}{12}

である。よって

\int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} f \int_{- \frac{1}{2}}^{1} f = F (- \frac{1}{2}) - F (- 1) = \frac{7}{48} + \frac{1}{12} = \frac{11}{48} = F (1) - F (- \frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} - \frac{7}{48} = - \frac{27}{48}

となり

\int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = \frac{11}{48} + \frac{27}{48} = \frac{38}{48} = \frac{19}{24}

である。

y = x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}

のグラフ。

x = - \frac{1}{2}

と

x = 1

で

x

軸を横切り、

- 1 \leq x \leq - \frac{1}{2}

では上、

- \frac{1}{2} \leq x \leq 1

では下にある。求めるのは塗った2つの部分の面積の和

\frac{19}{24}

。

$- 1 \leq x \leq 1$ を $400$ 万等分して $x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ を数値積分すると $0.791666667$ で、 $\frac{19}{24} = 0.791666667$ と一致する。

$x = 1$ は積分区間の右端とちょうど一致するので、分割は $x = - \frac{1}{2}$ の1か所だけでよい。 $x = 1$ でも分けようとすると幅 $0$ の区間が出る。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{1} f$ は負の値なので、絶対値を外すときは符号を反転して足す。引き算のまま続けない。

$\frac{38}{48}$ を約分して $\frac{19}{24}$ にする。

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∫−11​​x2−21​x−21​​dx を求める

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