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京都大学　2021年度　前期日程　文系

第1問 n進法／平面ベクトルの解答・解説

2進法・4進法・小数の変換・垂心・内積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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問1 $6.75$ を2進法で表し、 $101.010 1_{(2)}$ との積を2進法と4進法で表す

答 $6.75 = 110.1 1_{(2)}$ 、積は $100011.11011 1_{(2)} = 203.31 3_{(4)}$

小数の2進法は「整数部は2で割った余り、小数部は2倍して整数部を拾う」で出る。積は10進法で計算してしまうのがいちばん確実で、 $6.75 \times 5.3125$ は分数にすれば $\frac{27}{4} \cdot \frac{85}{16}$ ときれいに扱える。4進法は、2進法の桁を小数点から2桁ずつ区切るだけでよい。

$6.75$ を2進法に。 整数部は $6 = 11 0_{(2)}$ 、小数部は $0.75 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 0.1 1_{(2)}$ なので

6.75 = 110.1 1_{(2)}

である。

積を出す。

101.010 1_{(2)} = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{85}{16} = 5.3125

なので

6.75 \times 5.3125 = \frac{27}{4} \cdot \frac{85}{16} = \frac{2295}{64} = 35.859375

である。

2進法に直す。 整数部 $35 = 32 + 2 + 1 = 10001 1_{(2)}$ 。小数部は $\frac{2295}{64} - 35 = \frac{2295 - 2240}{64} = \frac{55}{64}$ で

\frac{55}{64} = \frac{32 + 16 + 4 + 2 + 1}{64} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}

だから $0.11011 1_{(2)}$ である。よって

35.859375 = 100011.11011 1_{(2)}

である。

4進法に直す。 $4 = 2^{2}$ なので、2進法の桁を小数点から左右に2桁ずつ区切り、それぞれを4進法の1桁にすればよい。

210000311.311101311

より

35.859375 = 203.31 3_{(4)}

である。

検算すると $2 \cdot 16 + 0 \cdot 4 + 3 = 35$ 、 $\frac{3}{4} + \frac{1}{16} + \frac{3}{64} = \frac{48 + 4 + 3}{64} = \frac{55}{64}$ で合っている。

$\frac{27}{4} \times \frac{85}{16} = \frac{2295}{64} = 35.859375$ 。 $100011.11011 1_{(2)} = 35 + \frac{55}{64} = 35.859375$ 、 $203.31 3_{(4)} = 35 + \frac{55}{64} = 35.859375$ で、3つとも一致する。

4進法への区切りは小数点から外側へ2桁ずつである。整数部を左から区切ると桁がずれる（ $100011$ は $10∣00∣11$ であって $10∣00∣11$ の順を逆にしない）。

積は2進法のまま筆算してもよいが、桁上がりが多く間違えやすい。分数に直して計算し、最後に変換するほうが安全である。

$\frac{55}{64}$ は分母が $2^{6}$ なので、分子を2のべきの和に分ければ小数部がそのまま読める。

問2 $OA = 3$ 、 $OB = 2$ 、 $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ の $△ OAB$ の垂心 $H$ について、 $OH$ を $OA, OB$ で表す

答 $OH = \frac{1}{9} OA + \frac{2}{3} OB$

垂心は「各頂点から対辺に下ろした垂線の交点」なので、 $OH = s a + t b$ とおいて $AH ⊥ OB$ と $BH ⊥ OA$ の2本を内積で書けばよい。内積は3つとも先に計算しておく。

$a = OA$ 、 $b = OB$ とおくと

∣ a ∣^{2} = 9, b^{2} = 4, a \cdot b = 3 \cdot 2 cos 6 0^{\circ} = 3

である。 $OH = s a + t b$ とおく。

2本の垂直条件。 $H$ は $A$ から $OB$ への垂線上にあるので $AH \cdot b = 0$ 、 $B$ から $OA$ への垂線上にあるので $BH \cdot a = 0$ である。

AH = (s - 1) a + t b, BH = s a + (t - 1) b

なので

{3 (s - 1) + 4 t = 0 9 s + 3 (t - 1) = 0

である。2本目から $3 s + t = 1$ 、すなわち $t = 1 - 3 s$ 。1本目に入れると

3 s - 3 + 4 (1 - 3 s) = - 9 s + 1 = 0 ⟹ s = \frac{1}{9}

で、 $t = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ である。よって

OH = \frac{1}{9} OA + \frac{2}{3} OB

である。

OA = 3

、

OB = 2

、

∠ AOB = 6 0^{\circ}

の三角形と垂心

H

。破線は

B

から

OA

への垂線と

A

から

OB

への垂線。

OH = \frac{1}{9} OA + \frac{2}{3} OB

。

$O (0, 0)$ 、 $A (3, 0)$ 、 $B (1, 3)$ とすると $OA = 3$ 、 $OB = 2$ 、 $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ である。 $OH = \frac{1}{9} (3, 0) + \frac{2}{3} (1, 3) = (1, \frac{2 3}{3})$ で、 $(OH - OA) \cdot OB = 0$ 、 $(OH - OB) \cdot OA = 0$ がどちらも成り立つ。

垂心の条件は2本で足りる。3本目（ $O$ から $AB$ への垂線）は自動的にみたされるので、連立に加える必要はない。

$AH = OH - OA$ である。 $a$ の係数が $s - 1$ になるところを間違えない。

この三角形では $B$ から $OA$ への垂線が $OA$ に垂直なので、 $H$ の「 $OA$ 方向の成分」は $B$ と同じになる。図を描くと検算になる。

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問16.75 を2進法で表し、101.0101(2)​ との積を2進法と4進法で表す

問2OA=3、OB=2、∠AOB=60∘ の △OAB の垂心 H について、OH を OA,OB で表す

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