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京都大学　2021年度　前期日程　文系

第3問確率の解答・解説

条件付き確率・漸化式・色の一致・玉の移動当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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一連の操作のあと番号 $n$ の箱から取り出した玉を番号 $1$ の箱に入れたとき、番号 $1$ の箱に赤玉と白玉が $1$ 個ずつ入っている確率を求める

答 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3 ^{n - 1}} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2 \cdot 3 ^{n - 1}}$

箱 $1$ には「最初の操作で残ったほうの玉」と「最後に $n$ 番から来た玉」の2個が入る。残ったほうは、 $1$ 番から送り出した玉 $C_{1}$ の逆の色である。だから「赤白1個ずつ」は「 $n$ 番から来た玉の色 $C_{n}$ が $C_{1}$ と同じ」と同値になる。あとは $C_{k}$ の色が $C_{1}$ と一致する確率に漸化式を立てればよい。

番号 $k$ の箱から番号 $k + 1$ の箱へ送られる玉の色を $C_{k}$ （ $k = 1, \dots, n - 1$ ）とし、最後に番号 $n$ の箱から取り出す玉の色を $C_{n}$ とする。

箱 $1$ の中身。 箱 $1$ は最初 ${$ 赤,白 $}$ で、最初の操作で $C_{1}$ が出ていくので、残るのは $C_{1}$ と逆の色の玉1個である。そこへ最後に $C_{n}$ が入るので、箱 $1$ の2個は

{\overline{C_{1}}, C_{n}} (\overline{C} は C の逆の色)

である。これが赤白1個ずつになる条件は $\overline{C_{1}} \neq = C_{n}$ 、つまり

C_{n} = C_{1}

である。

色の受け渡し。 $k \geq 1$ のとき、箱 $k + 1$ はもともと ${$ 赤,白 $}$ で、そこへ $C_{k}$ が入って3個になる。そこから1個取り出すので

P (C_{k + 1} = C_{k}) = \frac{2}{3}, P (C_{k + 1} \neq = C_{k}) = \frac{1}{3}

である（同じ色の玉が2個、逆の色が1個）。これは最後の「番号 $n$ の箱から取り出す」操作にもそのまま当てはまる。

漸化式。 $q_{k} = P (C_{k} = C_{1})$ とおく。 $q_{1} = 1$ で、 $k \geq 1$ のとき

q_{k + 1} = \frac{2}{3} q_{k} + \frac{1}{3} (1 - q_{k}) = \frac{1}{3} q_{k} + \frac{1}{3}

である。 $\frac{1}{2}$ を引くと

q_{k + 1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} (q_{k} - \frac{1}{2})

なので、 $q_{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ より

q_{k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{k - 1}

である。求める確率は $q_{n}$ だから

P = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3 ^{n - 1}} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2 \cdot 3 ^{n - 1}}

である。

$n = 2$ なら $\frac{2}{3}$ 、 $n = 3$ なら $\frac{5}{9}$ 、 $n = 4$ なら $\frac{14}{27}$ である。 $n$ を大きくすると、受け渡しのたびに色の記憶が薄れて $\frac{1}{2}$ に近づく。

$n = 2, 3, 4, 5$ について操作を $40$ 万回ずつ模擬すると、確率は $0.66542, 0.55550, 0.51962, 0.50644$ となり、 $\frac{2}{3} = 0.66667$ 、 $\frac{5}{9} = 0.55556$ 、 $\frac{14}{27} = 0.51852$ 、 $\frac{41}{81} = 0.50617$ とよく合っている。

箱 $1$ に残る玉は $C_{1}$ ではなくその逆の色である。ここを取り違えると答えが $1 - q_{n}$ になってしまう。

$C_{k}$ 単独の確率（赤である確率）はどの $k$ でも $\frac{1}{2}$ で、そこからは何も分からない。 $C_{1}$ との一致を追うのが要点である。

箱 $k + 1$ は、玉を受け取った時点で必ず3個（もとの2個＋来た1個）である。途中の箱から玉が減ることはない（ $k + 1$ 番の箱は、 $k + 1$ 回目の操作ではじめて1個出す）。

最後の「 $n$ 番から取り出して $1$ 番へ」も、確率 $\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$ の同じ受け渡しである。 $k = n - 1$ から $k = n$ への1歩として数える。

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一連の操作のあと番号 n の箱から取り出した玉を番号 1 の箱に入れたとき、番号 1 の箱に赤玉と白玉が 1 個ずつ入っている確率を求める

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