第5問整数の解答・解説

合同式・素数・3で割った余り・場合分け当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$p$ が素数ならば $p^{4} + 14$ は素数でないことを示す

答 $p \neq = 3$ なら $p^{4} + 14$ は $3$ の倍数で $3$ より大きい。 $p = 3$ なら $95 = 5 \times 19$

$14$ を $3$ で割ると $2$ 余るので、 $3$ を法として考えるのが自然である。 $3$ でない素数は $3$ と互いに素だから $p^{2} \equiv 1 (mod 3)$ となり、 $p^{4} \equiv 1$ 、合わせて $0$ になる。 $p = 3$ だけが例外なので、そこは直接計算する。

$3$ を法として考える。 $14 \equiv 2 (mod 3)$ である。

$p \neq = 3$ のとき。 $p$ は素数なので $p$ は $3$ の倍数ではなく、 $p \equiv 1$ または $p \equiv 2 (mod 3)$ である。どちらの場合も

p^{2} \equiv 1 (mod 3) ⟹ p^{4} = (p^{2})^{2} \equiv 1 (mod 3)

である。したがって

p^{4} + 14 \equiv 1 + 2 = 3 \equiv 0 (mod 3)

で、 $p^{4} + 14$ は $3$ の倍数である。さらに $p \geq 2$ より $p^{4} + 14 \geq 16 + 14 = 30 > 3$ なので、 $p^{4} + 14$ は $3$ の倍数でありながら $3$ 自身ではない。よって素数ではない。

$p = 3$ のとき。

3^{4} + 14 = 81 + 14 = 95 = 5 \times 19

なので素数ではない。

以上より、 $p$ が素数ならば $p^{4} + 14$ は素数ではない。

$p \equiv \pm 1 (mod 3)$ なら $p^{2} \equiv 1$ というのは、 $(\pm 1)^{2} = 1$ というだけのことである。 $p^{4}$ まで上げなくても $p^{2}$ の段階で決まっている。

$200$ 未満のすべての素数 $p$ について $p^{4} + 14$ が素数かを判定すると、素数になるものは1つもなかった。 $p = 2$ で $30$ 、 $p = 3$ で $95$ 、 $p = 5$ で $639 = 3^{2} \times 71$ 、 $p = 7$ で $2415 = 3 \times 5 \times 7 \times 23$ といずれも合成数である。