第4問 空間ベクトルの解答・解説

辺 $\mathrm{AE}$ は $\mathrm{A}(1,0,0)$ と $\mathrm{E}(1,0,3)$ を結ぶので $\mathrm{P}(1,0,p)$（$0\le p\le 3$）、辺 $\mathrm{CG}$ は $\mathrm{C}(0,2,0)$ と $\mathrm{G}(0,2,3)$ を結ぶので $\mathrm{Q}(0,2,q)$（$0\le q\le 3$）とおける。

同一平面の条件。 $\mathrm{O}$ が原点なので、$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\overrightarrow{\mathrm{OQ}},\overrightarrow{\mathrm{OF}}$ が同じ平面に乗る条件は

である（行列式を使わないなら、$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=s\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ とおいて成分を比べると $s=t=1$、$p+q=3$ が出る）。

平行四辺形になる。 $p+q=3$ のとき

なので、$\mathrm{OP}$ と $\mathrm{QF}$、$\mathrm{OQ}$ と $\mathrm{PF}$ がそれぞれ平行で長さも等しい。つまり四角形 $\mathrm{OPFQ}$ は平行四辺形で、面積は

である。

外積を使わないなら、$S=2△\mathrm{OPQ}$ と見て $△\mathrm{OPQ}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|}^2-{\left(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right)}^2}$ を使えばよい。下の計算と同じ式になる。

面積を $p$ で書く。 $q=3-p$ として

なので

である。$p=\frac{3}{5}$ は $0\le p\le 3$ の中にあり、このとき $q=3-\frac{3}{5}=\frac{12}{5}$ も範囲内である。最小値は

で、そのとき

である（$S=3.3466$ ほど）。