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京都大学　2021年度　前期日程　文系

京大文系 2021年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　n進法／平面ベクトル

2進法・4進法・小数の変換・垂心・内積当サイトの体感難易度：標準

問1 $6.75$ を2進法で表し、 $101.010 1_{(2)}$ との積を2進法と4進法で表す

答 $6.75 = 110.1 1_{(2)}$ 、積は $100011.11011 1_{(2)} = 203.31 3_{(4)}$

小数の2進法は「整数部は2で割った余り、小数部は2倍して整数部を拾う」で出る。積は10進法で計算してしまうのがいちばん確実で、 $6.75 \times 5.3125$ は分数にすれば $\frac{27}{4} \cdot \frac{85}{16}$ ときれいに扱える。4進法は、2進法の桁を小数点から2桁ずつ区切るだけでよい。

$6.75$ を2進法に。 整数部は $6 = 11 0_{(2)}$ 、小数部は $0.75 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 0.1 1_{(2)}$ なので

6.75 = 110.1 1_{(2)}

である。

積を出す。

101.010 1_{(2)} = 4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{85}{16} = 5.3125

なので

6.75 \times 5.3125 = \frac{27}{4} \cdot \frac{85}{16} = \frac{2295}{64} = 35.859375

である。

2進法に直す。 整数部 $35 = 32 + 2 + 1 = 10001 1_{(2)}$ 。小数部は $\frac{2295}{64} - 35 = \frac{2295 - 2240}{64} = \frac{55}{64}$ で

\frac{55}{64} = \frac{32 + 16 + 4 + 2 + 1}{64} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}

だから $0.11011 1_{(2)}$ である。よって

35.859375 = 100011.11011 1_{(2)}

である。

4進法に直す。 $4 = 2^{2}$ なので、2進法の桁を小数点から左右に2桁ずつ区切り、それぞれを4進法の1桁にすればよい。

210000311.311101311

より

35.859375 = 203.31 3_{(4)}

である。

検算すると $2 \cdot 16 + 0 \cdot 4 + 3 = 35$ 、 $\frac{3}{4} + \frac{1}{16} + \frac{3}{64} = \frac{48 + 4 + 3}{64} = \frac{55}{64}$ で合っている。

$\frac{27}{4} \times \frac{85}{16} = \frac{2295}{64} = 35.859375$ 。 $100011.11011 1_{(2)} = 35 + \frac{55}{64} = 35.859375$ 、 $203.31 3_{(4)} = 35 + \frac{55}{64} = 35.859375$ で、3つとも一致する。

4進法への区切りは小数点から外側へ2桁ずつである。整数部を左から区切ると桁がずれる（ $100011$ は $10∣00∣11$ であって $10∣00∣11$ の順を逆にしない）。

積は2進法のまま筆算してもよいが、桁上がりが多く間違えやすい。分数に直して計算し、最後に変換するほうが安全である。

$\frac{55}{64}$ は分母が $2^{6}$ なので、分子を2のべきの和に分ければ小数部がそのまま読める。

問2 $OA = 3$ 、 $OB = 2$ 、 $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ の $△ OAB$ の垂心 $H$ について、 $OH$ を $OA, OB$ で表す

答 $OH = \frac{1}{9} OA + \frac{2}{3} OB$

垂心は「各頂点から対辺に下ろした垂線の交点」なので、 $OH = s a + t b$ とおいて $AH ⊥ OB$ と $BH ⊥ OA$ の2本を内積で書けばよい。内積は3つとも先に計算しておく。

$a = OA$ 、 $b = OB$ とおくと

∣ a ∣^{2} = 9, b^{2} = 4, a \cdot b = 3 \cdot 2 cos 6 0^{\circ} = 3

である。 $OH = s a + t b$ とおく。

2本の垂直条件。 $H$ は $A$ から $OB$ への垂線上にあるので $AH \cdot b = 0$ 、 $B$ から $OA$ への垂線上にあるので $BH \cdot a = 0$ である。

AH = (s - 1) a + t b, BH = s a + (t - 1) b

なので

{3 (s - 1) + 4 t = 0 9 s + 3 (t - 1) = 0

である。2本目から $3 s + t = 1$ 、すなわち $t = 1 - 3 s$ 。1本目に入れると

3 s - 3 + 4 (1 - 3 s) = - 9 s + 1 = 0 ⟹ s = \frac{1}{9}

で、 $t = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ である。よって

OH = \frac{1}{9} OA + \frac{2}{3} OB

である。

OA = 3

、

OB = 2

、

∠ AOB = 6 0^{\circ}

の三角形と垂心

H

。破線は

B

から

OA

への垂線と

A

から

OB

への垂線。

OH = \frac{1}{9} OA + \frac{2}{3} OB

。

$O (0, 0)$ 、 $A (3, 0)$ 、 $B (1, 3)$ とすると $OA = 3$ 、 $OB = 2$ 、 $∠ AOB = 6 0^{\circ}$ である。 $OH = \frac{1}{9} (3, 0) + \frac{2}{3} (1, 3) = (1, \frac{2 3}{3})$ で、 $(OH - OA) \cdot OB = 0$ 、 $(OH - OB) \cdot OA = 0$ がどちらも成り立つ。

垂心の条件は2本で足りる。3本目（ $O$ から $AB$ への垂線）は自動的にみたされるので、連立に加える必要はない。

$AH = OH - OA$ である。 $a$ の係数が $s - 1$ になるところを間違えない。

この三角形では $B$ から $OA$ への垂線が $OA$ に垂直なので、 $H$ の「 $OA$ 方向の成分」は $B$ と同じになる。図を描くと検算になる。

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第2問　積分法

絶対値のついた定積分・符号の切れ目・区間の分割当サイトの体感難易度：標準

$\int_{- 1}^{1} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} d x$ を求める

答 $\frac{19}{24}$

絶対値の中身の符号が変わるところで区間を分ける。 $2$ 倍して $2 x^{2} - x - 1 = (2 x + 1) (x - 1)$ と因数分解できるので、切れ目は $x = - \frac{1}{2}$ と $x = 1$ である。 $x = 1$ は区間の右端なので、分けるのは1か所だけで済む。

$f (x) = x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2 x ^{2} - x - 1}{2} = \frac{( 2 x + 1 ) ( x - 1 )}{2}$ である。

$f (x) = 0$ の解は $x = - \frac{1}{2}, 1$ で、下に凸だから

$- 1 \leq x \leq - \frac{1}{2}$ ： $f (x) \geq 0$
$- \frac{1}{2} \leq x \leq 1$ ： $f (x) \leq 0$

である。したがって

\int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} f (x) d x - \int_{- \frac{1}{2}}^{1} f (x) d x

である。原始関数を

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{4} - \frac{x}{2}

とおくと

F (- 1) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = - \frac{1}{12}, F (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{7}{48}, F (1) = - \frac{5}{12}

である。よって

\int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} f \int_{- \frac{1}{2}}^{1} f = F (- \frac{1}{2}) - F (- 1) = \frac{7}{48} + \frac{1}{12} = \frac{11}{48} = F (1) - F (- \frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} - \frac{7}{48} = - \frac{27}{48}

となり

\int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x = \frac{11}{48} + \frac{27}{48} = \frac{38}{48} = \frac{19}{24}

である。

y = x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}

のグラフ。

x = - \frac{1}{2}

と

x = 1

で

x

軸を横切り、

- 1 \leq x \leq - \frac{1}{2}

では上、

- \frac{1}{2} \leq x \leq 1

では下にある。求めるのは塗った2つの部分の面積の和

\frac{19}{24}

。

$- 1 \leq x \leq 1$ を $400$ 万等分して $x^{2} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ を数値積分すると $0.791666667$ で、 $\frac{19}{24} = 0.791666667$ と一致する。

$x = 1$ は積分区間の右端とちょうど一致するので、分割は $x = - \frac{1}{2}$ の1か所だけでよい。 $x = 1$ でも分けようとすると幅 $0$ の区間が出る。

$\int_{- \frac{1}{2}}^{1} f$ は負の値なので、絶対値を外すときは符号を反転して足す。引き算のまま続けない。

$\frac{38}{48}$ を約分して $\frac{19}{24}$ にする。

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第3問　確率

条件付き確率・漸化式・色の一致・玉の移動当サイトの体感難易度：難

一連の操作のあと番号 $n$ の箱から取り出した玉を番号 $1$ の箱に入れたとき、番号 $1$ の箱に赤玉と白玉が $1$ 個ずつ入っている確率を求める

答 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3 ^{n - 1}} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2 \cdot 3 ^{n - 1}}$

箱 $1$ には「最初の操作で残ったほうの玉」と「最後に $n$ 番から来た玉」の2個が入る。残ったほうは、 $1$ 番から送り出した玉 $C_{1}$ の逆の色である。だから「赤白1個ずつ」は「 $n$ 番から来た玉の色 $C_{n}$ が $C_{1}$ と同じ」と同値になる。あとは $C_{k}$ の色が $C_{1}$ と一致する確率に漸化式を立てればよい。

番号 $k$ の箱から番号 $k + 1$ の箱へ送られる玉の色を $C_{k}$ （ $k = 1, \dots, n - 1$ ）とし、最後に番号 $n$ の箱から取り出す玉の色を $C_{n}$ とする。

箱 $1$ の中身。 箱 $1$ は最初 ${$ 赤,白 $}$ で、最初の操作で $C_{1}$ が出ていくので、残るのは $C_{1}$ と逆の色の玉1個である。そこへ最後に $C_{n}$ が入るので、箱 $1$ の2個は

{\overline{C_{1}}, C_{n}} (\overline{C} は C の逆の色)

である。これが赤白1個ずつになる条件は $\overline{C_{1}} \neq = C_{n}$ 、つまり

C_{n} = C_{1}

である。

色の受け渡し。 $k \geq 1$ のとき、箱 $k + 1$ はもともと ${$ 赤,白 $}$ で、そこへ $C_{k}$ が入って3個になる。そこから1個取り出すので

P (C_{k + 1} = C_{k}) = \frac{2}{3}, P (C_{k + 1} \neq = C_{k}) = \frac{1}{3}

である（同じ色の玉が2個、逆の色が1個）。これは最後の「番号 $n$ の箱から取り出す」操作にもそのまま当てはまる。

漸化式。 $q_{k} = P (C_{k} = C_{1})$ とおく。 $q_{1} = 1$ で、 $k \geq 1$ のとき

q_{k + 1} = \frac{2}{3} q_{k} + \frac{1}{3} (1 - q_{k}) = \frac{1}{3} q_{k} + \frac{1}{3}

である。 $\frac{1}{2}$ を引くと

q_{k + 1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} (q_{k} - \frac{1}{2})

なので、 $q_{1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ より

q_{k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{k - 1}

である。求める確率は $q_{n}$ だから

P = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3 ^{n - 1}} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2 \cdot 3 ^{n - 1}}

である。

$n = 2$ なら $\frac{2}{3}$ 、 $n = 3$ なら $\frac{5}{9}$ 、 $n = 4$ なら $\frac{14}{27}$ である。 $n$ を大きくすると、受け渡しのたびに色の記憶が薄れて $\frac{1}{2}$ に近づく。

$n = 2, 3, 4, 5$ について操作を $40$ 万回ずつ模擬すると、確率は $0.66542, 0.55550, 0.51962, 0.50644$ となり、 $\frac{2}{3} = 0.66667$ 、 $\frac{5}{9} = 0.55556$ 、 $\frac{14}{27} = 0.51852$ 、 $\frac{41}{81} = 0.50617$ とよく合っている。

箱 $1$ に残る玉は $C_{1}$ ではなくその逆の色である。ここを取り違えると答えが $1 - q_{n}$ になってしまう。

$C_{k}$ 単独の確率（赤である確率）はどの $k$ でも $\frac{1}{2}$ で、そこからは何も分からない。 $C_{1}$ との一致を追うのが要点である。

箱 $k + 1$ は、玉を受け取った時点で必ず3個（もとの2個＋来た1個）である。途中の箱から玉が減ることはない（ $k + 1$ 番の箱は、 $k + 1$ 回目の操作ではじめて1個出す）。

最後の「 $n$ 番から取り出して $1$ 番へ」も、確率 $\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$ の同じ受け渡しである。 $k = n - 1$ から $k = n$ への1歩として数える。

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第4問　空間ベクトル

4点が同一平面上・外積による面積・平行四辺形・2次関数の最小当サイトの体感難易度：やや難

$O, F$ と辺 $AE$ 上の $P$ 、辺 $CG$ 上の $Q$ が同一平面上にあるとき、四角形 $OPFQ$ の面積 $S$ を最小にする $P, Q$ と、そのときの $S$ を求める

答 $P (1, 0, \frac{3}{5})$ 、 $Q (0, 2, \frac{12}{5})$ 、 $S = \frac{2 70}{5}$

$P (1, 0, p)$ 、 $Q (0, 2, q)$ とおくと、同一平面の条件は行列式 $= 0$ で $p + q = 3$ と出る。すると $OP + OQ = OF$ になるので $OPFQ$ は平行四辺形で、面積は外積の大きさ。あとは $p$ の2次関数の最小である。

辺 $AE$ は $A (1, 0, 0)$ と $E (1, 0, 3)$ を結ぶので $P (1, 0, p)$ （ $0 \leq p \leq 3$ ）、辺 $CG$ は $C (0, 2, 0)$ と $G (0, 2, 3)$ を結ぶので $Q (0, 2, q)$ （ $0 \leq q \leq 3$ ）とおける。

同一平面の条件。 $O$ が原点なので、 $OP, OQ, OF$ が同じ平面に乗る条件は

101022 p q 3 = (6 - 2 q) - 2 p = 0 ⟺ p + q = 3

である（行列式を使わないなら、 $OF = s OP + t OQ$ とおいて成分を比べると $s = t = 1$ 、 $p + q = 3$ が出る）。

平行四辺形になる。 $p + q = 3$ のとき

OP + OQ = (1, 2, p + q) = (1, 2, 3) = OF

なので、 $OP$ と $QF$ 、 $OQ$ と $PF$ がそれぞれ平行で長さも等しい。つまり四角形 $OPFQ$ は平行四辺形で、面積は

S = OP \times OQ

である。

外積を使わないなら、 $S = 2△ OPQ$ と見て $△ OPQ = \frac{1}{2} OP^{2} OQ^{2} - (OP \cdot OQ)^{2}$ を使えばよい。下の計算と同じ式になる。

面積を $p$ で書く。 $q = 3 - p$ として

OP \times OQ = (1, 0, p) \times (0, 2, 3 - p) = (- 2 p, p - 3, 2)

なので

S^{2} = 4 p^{2} + (p - 3)^{2} + 4 = 5 p^{2} - 6 p + 13 = 5 (p - \frac{3}{5})^{2} + \frac{56}{5}

である。 $p = \frac{3}{5}$ は $0 \leq p \leq 3$ の中にあり、このとき $q = 3 - \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$ も範囲内である。最小値は

S = \frac{56}{5} = \frac{2 14}{5} = \frac{2 70}{5}

で、そのとき

P (1, 0, \frac{3}{5}), Q (0, 2, \frac{12}{5})

である（ $S = 3.3466$ ほど）。

S = 5 p^{2} - 6 p + 13

のグラフ（

0 \leq p \leq 3

）。

p = \frac{3}{5}

で最小

\frac{2 70}{5} = 3.347

をとる。両端は

p = 0

で

13 = 3.606

、

p = 3

で

40 = 6.325

。

$p = \frac{3}{5}$ 、 $q = \frac{12}{5}$ のとき $OP = (1, 0, 0.6)$ 、 $OQ = (0, 2, 2.4)$ で、和は $(1, 2, 3) = OF$ になる。外積は $(- 1.2, - 2.4, 2)$ で大きさは $3.346640$ 、 $\frac{2 70}{5} = 3.346640$ と一致する。 $p$ を $30$ 万等分して調べても最小は $p = 0.600000$ であった。

$OPFQ$ は $O \to P \to F \to Q$ の順の四角形である。 $P$ と $Q$ が向かい合う頂点ではないことに注意する（向かい合うのは $O$ と $F$ ）。

平行四辺形だと分かれば面積は三角形2つぶんで、 $△ OPQ$ の2倍である。四角形のまま対角線で切ろうとすると、 $PQ$ で切るか $OF$ で切るかで迷う。

$p = \frac{3}{5}$ が $0 \leq p \leq 3$ の内部にあることを確かめる。外に出ていれば端の値を比べる。

$\frac{56}{5}$ は分母を有理化して $\frac{2 70}{5}$ とする。

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第5問　整数

合同式・素数・3で割った余り・場合分け当サイトの体感難易度：標準

$p$ が素数ならば $p^{4} + 14$ は素数でないことを示す

答 $p \neq = 3$ なら $p^{4} + 14$ は $3$ の倍数で $3$ より大きい。 $p = 3$ なら $95 = 5 \times 19$

$14$ を $3$ で割ると $2$ 余るので、 $3$ を法として考えるのが自然である。 $3$ でない素数は $3$ と互いに素だから $p^{2} \equiv 1 (mod 3)$ となり、 $p^{4} \equiv 1$ 、合わせて $0$ になる。 $p = 3$ だけが例外なので、そこは直接計算する。

$3$ を法として考える。 $14 \equiv 2 (mod 3)$ である。

$p \neq = 3$ のとき。 $p$ は素数なので $p$ は $3$ の倍数ではなく、 $p \equiv 1$ または $p \equiv 2 (mod 3)$ である。どちらの場合も

p^{2} \equiv 1 (mod 3) ⟹ p^{4} = (p^{2})^{2} \equiv 1 (mod 3)

である。したがって

p^{4} + 14 \equiv 1 + 2 = 3 \equiv 0 (mod 3)

で、 $p^{4} + 14$ は $3$ の倍数である。さらに $p \geq 2$ より $p^{4} + 14 \geq 16 + 14 = 30 > 3$ なので、 $p^{4} + 14$ は $3$ の倍数でありながら $3$ 自身ではない。よって素数ではない。

$p = 3$ のとき。

3^{4} + 14 = 81 + 14 = 95 = 5 \times 19

なので素数ではない。

以上より、 $p$ が素数ならば $p^{4} + 14$ は素数ではない。

$p \equiv \pm 1 (mod 3)$ なら $p^{2} \equiv 1$ というのは、 $(\pm 1)^{2} = 1$ というだけのことである。 $p^{4}$ まで上げなくても $p^{2}$ の段階で決まっている。

$200$ 未満のすべての素数 $p$ について $p^{4} + 14$ が素数かを判定すると、素数になるものは1つもなかった。 $p = 2$ で $30$ 、 $p = 3$ で $95$ 、 $p = 5$ で $639 = 3^{2} \times 71$ 、 $p = 7$ で $2415 = 3 \times 5 \times 7 \times 23$ といずれも合成数である。