東北大学　2026年度　前期日程　理系

第1問微分法・図形と方程式の解答・解説

放物線の接線・解と係数の関係・垂直二等分線・2次関数の最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)点 $(u, u - 1)$ を通る接線がちょうど2本あることを示す

答接点の $x$ 座標の方程式 $t^{2} - 2 u t + u - 1 = 0$ の判別式が $u^{2} - u + 1 = (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$

方針接点を $t$ とおいて「通る」条件を $t$ の2次方程式にする。接線の本数＝この方程式の実数解の個数。

$C : y = x^{2}$ の $x = t$ における接線は $y = 2 t x - t^{2}$ 。点 $(u, u - 1)$ を通るので

u - 1 = 2 t u - t^{2} ⟺ t^{2} - 2 u t + u - 1 = 0

判別式を $4$ で割った値は

\frac{D}{4} = u^{2} - (u - 1) = u^{2} - u + 1 = (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0

つねに正なので、 $t$ の相異なる実数解が2つある。接点が違えば接線も違うから、接線はちょうど2本。

答案で省略しない方がよい点

「接線が2本」を「接点が2つ」に言い換えるとき、接点が違えば接線も違うこと（ $y = 2 t x - t^{2}$ の傾き $2 t$ が $t$ で決まる）に一言触れる。

(2) $m$ が $y$ 軸と交わることを示し、交点の $y$ 座標 $q (u)$ の最小値と、それを与える $u$ を求める

答 $q (u) = 2 u^{2} - u + \frac{3}{2}$ 、最小値 $\frac{11}{8}$ （ $u = \frac{1}{4}$ のとき）

方針 $t_{1}, t_{2}$ を個別に求めず、解と係数の関係だけで中点と傾きを出す。 $t_{1} + t_{2} = 2 u, t_{1} t_{2} = u - 1$ しか使わない。

接点を $P_{1} (t_{1}, t_{1}^{2}), P_{2} (t_{2}, t_{2}^{2})$ とすると、(1) の方程式から $t_{1} + t_{2} = 2 u, t_{1} t_{2} = u - 1$ 。

直線 $P_{1} P_{2}$ の傾きは

\frac{t _{1}^{2} - t _{2}^{2}}{t _{1} - t _{2}} = t_{1} + t_{2} = 2 u

$u > 0$ より傾きは $0$ でない。よって垂直二等分線 $m$ の傾きは $- \frac{1}{2 u}$ で、 $m$ は $y$ 軸と平行にならず、必ず $y$ 軸と交わる。

中点は

(u, \frac{t _{1}^{2} + t _{2}^{2}}{2}) = (u, \frac{( 2 u ) ^{2} - 2 ( u - 1 )}{2}) = (u, 2 u^{2} - u + 1)

$m : y - (2 u^{2} - u + 1) = - \frac{1}{2 u} (x - u)$ に $x = 0$ を入れて

q (u) = 2 u^{2} - u + 1 + \frac{1}{2} = 2 u^{2} - u + \frac{3}{2} = 2 (u - \frac{1}{4})^{2} + \frac{11}{8}

$u > 0$ の範囲に頂点 $u = \frac{1}{4}$ が入っているので、最小値は $\frac{11}{8}$ 。

検算

$u = \frac{1}{4}$ のとき $t^{2} - \frac{1}{2} t - \frac{3}{4} = 0$ から $t = \frac{1 \pm 13}{4}$ 。接点の中点は $(\frac{1}{4}, \frac{15}{16})$ 、 $m$ の傾きは $- 2$ で、 $y$ 切片は $\frac{15}{16} + \frac{1}{2} = \frac{23}{16}$ ……ではなく $\frac{15}{16} + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{11}{8}$ 。数値でも一致する。