東北大理系 2026年度 数学の解答・解説

$C:y=x^2$ の $x=t$ における接線は $y=2tx-t^2$。点 $(u,u-1)$ を通るので

判別式を $4$ で割った値は

つねに正なので、$t$ の相異なる実数解が2つある。接点が違えば接線も違うから、接線はちょうど2本。

接点を ${\mathrm{P}}_1(t_1,t_1^2),{\mathrm{P}}_2(t_2,t_2^2)$ とすると、(1) の方程式から $t_1+t_2=2u,t_1{t}_2=u-1$。

直線 ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$ の傾きは

$u>0$ より傾きは $0$ でない。よって垂直二等分線 $m$ の傾きは $-\frac{1}{2u}$ で、$m$ は $y$ 軸と平行にならず、必ず $y$ 軸と交わる。

中点は

$m:y-(2u^2-u+1)=-\frac{1}{2u}(x-u)$ に $x=0$ を入れて

$u>0$ の範囲に頂点 $u=\frac{1}{4}$ が入っているので、最小値は $\frac{11}{8}$。

$k$ を正の整数とすると、(1) の組を $k$ 倍して

$k$ が異なれば組も異なるから、条件をみたす正の整数の組は無数にある。

$a+c$ が偶数であること。 $c^2-a^2=2b^2$ は偶数なので $c^2\equiv a^2(\mathrm{mod}2)$、したがって $c\equiv a(\mathrm{mod}2)$。よって $a+c$ は偶数。

$b$ が偶数であること。 $a,c$ の偶奇で分ける。

1. $a,c$ がともに奇数のとき … 奇数の平方は $\mathrm{mod}8$ で $1$ だから $2b^2=c^2-a^2\equiv 0(\mathrm{mod}8)$、つまり $b^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ で $b$ は偶数
2. $a,c$ がともに偶数のとき … $a=2a^{\prime },c=2c^{\prime }$ とおくと $2b^2=4(c^{\prime 2}-a^{\prime 2})$、つまり $b^2=2(c^{\prime 2}-a^{\prime 2})$ は偶数。平方が偶数なら元も偶数なので $b$ は偶数

後半。 $a,c$ がともに偶数とし、$a=2a^{\prime },c=2c^{\prime }$、さらに前半より $b=2b^{\prime }$ と書ける。代入すると

$a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ も正の整数で、同じ形の式をみたす。だから前半がそのまま使えて $b^{\prime }$ は偶数。よって $b=2b^{\prime }$ は $4$ の倍数。

$g(x)=8x^3-6x^2+2$、$h(x)=3x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ とおく。$g^{\prime }(x)=24x^2-12x$ より

$h$ の側をそろえると、$h^{\prime }(x)=12x^3+3a{x}^2+2bx+c$ から

1. $a+b+c+d=1$
2. $-a+b-c+d=-15$
3. $3a+2b+c=0$
4. $3a-2b+c=48$

下2本の差から $b=-12$、和から $3a+c=24$。上2本の差から $a+c=8$。よって $a=8,c=0$、最後に $d=5$。

$|x|\le 1$ のとき。 $g^{\prime }(x)=12x(2x-1)$ より $x=-1$ から増加、$x=0$ で極大 $2$、$x=\frac{1}{2}$ で極小 $\frac{3}{2}$、そこから増加。端の $g(-1)=-12$ がこの範囲の最小。

$|x|>1$ のとき。

$x^2+2x-2=0$ の解は $x=-1\pm \sqrt{3}$。$|x|>1$ に入るのは $x=-1-\sqrt{3}=-2.732\dots$ だけ。$x<-1-\sqrt{3}$ で $h^{\prime }<0$、$-1-\sqrt{3}<x<-1$ で $h^{\prime }>0$ なので、ここで極小。$x>1$ では $h^{\prime }>0$ で増加。

$r=-1-\sqrt{3}$ とすると $r^2=4+2\sqrt{3}$、$r^3=-(10+6\sqrt{3})$、$r^4=28+16\sqrt{3}$ なので

$-39-24\sqrt{3}=-80.56\dots <-12$ なので、これが全体の最小値。

1. $(m+1,n)$ … $u$ は $+1$、$v$ は $+1$
2. $(m-1,n)$ … $u$ は $-1$、$v$ は $-1$
3. $(m,n+1)$ … $u$ は $+1$、$v$ は $-1$
4. $(m,n-1)$ … $u$ は $-1$、$v$ は $+1$

4通りが等確率なので、$u$ と $v$ はそれぞれ独立に $\pm 1$ を等確率で足していく。$(4,0)$ は $u=4,v=4$。

$v$ も同じなので、掛けて ${\left(\frac{7}{64}\right)}^2=\frac{49}{4096}$。

時刻 $8$ では $u,v$ はともに $-8$ 以上 $8$ 以下の偶数。$uv=16$ をみたす組は

$P(u=2)=\frac{56}{256},P(u=4)=\frac{28}{256},P(u=8)=\frac{1}{256}$（負も同じ）なので

$u=6$ には時刻 $6$ 以上でないと届かず、$u$ の偶奇は時刻と同じなので $t$ は偶数。$1\le t\le 7$ と合わせて $t=6$ のみ。

よって時刻 $6$ に $(4,2)$ にいる確率は $\frac{15}{4096}$。そこから残り2歩で

1. $u_8\in \{4,6,8\}$ が確率 $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$、$v_8\in \{0,2,4\}$ が確率 $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$
2. $u_8{v}_8=16$ となるのは $(4,4)$ と $(8,2)$ で、確率は $\frac{1}{16}+\frac{1}{8}=\frac{3}{16}$

このとき $\frac{dy}{dt}=e^t(\sin t+\cos t)=\sqrt{2}{e}^{\pi /4}\ne 0$ なので、確かに $y$ 軸に平行な接線をもつ。接点の $x$ 座標は $e^{\pi /4}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{e^{\pi /4}}{\sqrt{2}}$。

$e^{\alpha t}$ を積分する向きで部分積分すると

$J$ を消すと $\left(1+\frac{{\beta }^2}{{\alpha }^2}\right)I=\frac{e^{\alpha t}}{\alpha }\left(\cos \beta t+\frac{\beta }{\alpha }\sin \beta t\right)$ となり、整理して上の形になる。$J$ も同様。

$D$ は、$t=0$ の点 $(1,0)$ から接点までの弧、直線 $\ell$、および $x$ 軸で囲まれた部分。$x$ は $t$ について増加だから

${\sin }^{2}t\cos t=\frac{\cos t-\cos 3t}{4}$、${\sin }^{3}t=\frac{3\sin t-\sin 3t}{4}$ を使うと

(2) を $\alpha =3$、$\beta =1,3$ で使い、まとめると原始関数は

$G(0)=\frac{3}{5}-\frac{1}{3}=\frac{4}{15}$、$G\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{15}{e}^{3\pi /4}$ なので

$\mathrm{A}\ne \mathrm{P}$ より $a\ne 1$。$\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ はどちらも直線 $\mathrm{OA}$ 上の点なので、直線 $\mathrm{AP}$ は直線 $\mathrm{OA}$ に一致する。

平面 $\alpha$ は $\mathrm{A},\mathrm{P}$ を含むので直線 $\mathrm{OA}$ を含み、したがって $\mathrm{O}$ を通る。$\mathrm{B}$ も $\alpha$ 上なので、$\alpha$ は $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ の定める平面。

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=b\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ より $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{OB}$ 上にあり、この直線は $\alpha$ に含まれる。よって $\mathrm{Q}$ は $\alpha$ 上。

$\mathrm{O}$ を原点とみて $\vec{m}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\vec{x}$ に対し $f(\mathrm{X})=|\vec{x}{|}^2-2\vec{x}\cdot \vec{m}+|\vec{m}{|}^2-r^2$。$\mathrm{B}\in S$ より $2\vec{b}\cdot \vec{m}=|\vec{b}{|}^2+|\vec{m}{|}^2-r^2$ で、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=b\vec{b}$ を入れると

同じ計算を $\mathrm{A},\mathrm{P}$ について行うと $f(\mathrm{P})=(a-1)\left\{a{\left|\vec{a}\right|}^2-f(\mathrm{O})\right\}$。$\mathrm{P}\in S$ かつ $a\ne 1$ なので

与えられた条件 $a{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2=b{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2$ と合わせると $b{\left|\vec{b}\right|}^2=f(\mathrm{O})$、したがって $f(\mathrm{Q})=0$。つまり $\mathrm{Q}$ は球面 $S$ 上にある。

$\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{CD}$ 上にもある。直線と球面の共有点は多くとも2個で、$\mathrm{C},\mathrm{D}$ は相異なる共有点だから、$S$ と直線 $\mathrm{CD}$ の共有点はちょうど $\mathrm{C},\mathrm{D}$ の2点。よって $\mathrm{Q}=\mathrm{C}$ または $\mathrm{Q}=\mathrm{D}$。