東北大学　2026年度　前期日程　理系

第2問整数の解答・解説

平方剰余・偶奇・mod 4・mod 8・無限降下当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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答 $(a, b, c) = (1, 2, 3)$

方針 $c^{2} - a^{2} = 2 b^{2}$ の左辺を $(c - a) (c + a)$ と見て、小さい数で当たりをつける。 $b = 2$ なら右辺が $8 = 2 \cdot 4$ で、 $c - a = 2, c + a = 4$ がはまる。

1^{2} + 2 \cdot 2^{2} = 1 + 8 = 9 = 3^{2}

答 $(k, 2 k, 3 k)$ （ $k$ は任意の正の整数）がすべて条件をみたす

方針1つ見つかれば、定数倍がすべて解になる。式が $a, b, c$ について同じ次数（2次の同次式）だから。

$k$ を正の整数とすると、(1) の組を $k$ 倍して

(k)^{2} + 2 (2 k)^{2} = k^{2} + 8 k^{2} = 9 k^{2} = (3 k)^{2}

$k$ が異なれば組も異なるから、条件をみたす正の整数の組は無数にある。

答案で省略しない方がよい点

答平方数を $mod 8$ で見ると $b$ の偶数性が出る。後半は $(a, b, c) = (2 a^{'}, 2 b^{'}, 2 c^{'})$ と置き直して前半を使い直す

方針平方数は $mod 8$ で $0, 1, 4$ のいずれか。この事実ひとつで前半が片づく。後半は、同じ形の式を小さい組で作り直して前半を適用する（降下法）。

$a + c$ が偶数であること。 $c^{2} - a^{2} = 2 b^{2}$ は偶数なので $c^{2} \equiv a^{2} (mod 2)$ 、したがって $c \equiv a (mod 2)$ 。よって $a + c$ は偶数。

$b$ が偶数であること。 $a, c$ の偶奇で分ける。

$a, c$ がともに奇数のとき … 奇数の平方は $mod 8$ で $1$ だから $2 b^{2} = c^{2} - a^{2} \equiv 0 (mod 8)$ 、つまり $b^{2} \equiv 0 (mod 4)$ で $b$ は偶数
$a, c$ がともに偶数のとき … $a = 2 a^{'}, c = 2 c^{'}$ とおくと $2 b^{2} = 4 (c^{' 2} - a^{' 2})$ 、つまり $b^{2} = 2 (c^{' 2} - a^{' 2})$ は偶数。平方が偶数なら元も偶数なので $b$ は偶数

後半。 $a, c$ がともに偶数とし、 $a = 2 a^{'}, c = 2 c^{'}$ 、さらに前半より $b = 2 b^{'}$ と書ける。代入すると

4 a^{' 2} + 2 \cdot 4 b^{' 2} = 4 c^{' 2} ⟺ a^{' 2} + 2 b^{' 2} = c^{' 2}

$a^{'}, b^{'}, c^{'}$ も正の整数で、同じ形の式をみたす。だから前半がそのまま使えて $b^{'}$ は偶数。よって $b = 2 b^{'}$ は $4$ の倍数。

検算

$a, b, c \leq 400$ をすべて調べると、解はつねに $a + c$ が偶数で $b$ も偶数。 $a, c$ がともに偶数の解（ $(2, 4, 6), (4, 8, 12), \dots$ ）では $b$ が必ず $4$ の倍数になっている。

答案で省略しない方がよい点

後半を「 $b^{2}$ が $8$ の倍数だから」と直接押すより、 $2$ で割って同じ形に戻し前半を使い直すほうが短い。降下法の型。
$a, c$ がともに奇数の場合に $mod 8$ が要る。 $mod 4$ では $2 b^{2} \equiv 0 (mod 4)$ までしか出ず、 $b$ の偶数性に届かない。