東北大学　2026年度　前期日程　理系

第3問微分法の解答・解説

つなぎ目での微分可能性・連立方程式・4次関数の増減・最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $a, b, c, d$ の値を求める

答 $a = 8, b = - 12, c = 0, d = 5$

方針つなぎ目は $x = 1$ と $x = - 1$ の2か所。それぞれで値と微分係数の両方がそろう必要があるので、条件は4本。未知数も4つなので過不足なく決まる。

$g (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2} + 2$ 、 $h (x) = 3 x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ とおく。 $g^{'} (x) = 24 x^{2} - 12 x$ より

g (1) = 4, g^{'} (1) = 12, g (- 1) = - 12, g^{'} (- 1) = 36

$h$ の側をそろえると、 $h^{'} (x) = 12 x^{3} + 3 a x^{2} + 2 b x + c$ から

$a + b + c + d = 1$
$- a + b - c + d = - 15$
$3 a + 2 b + c = 0$
$3 a - 2 b + c = 48$

下2本の差から $b = - 12$ 、和から $3 a + c = 24$ 。上2本の差から $a + c = 8$ 。よって $a = 8, c = 0$ 、最後に $d = 5$ 。

検算

$h (x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ とすると $h (1) = 4, h (- 1) = - 12$ 、 $h^{'} (1) = 12, h^{'} (- 1) = 36$ 。4本ともそろう。

答案で省略しない方がよい点

つなぎ目が $x = 1$ と $x = - 1$ の2か所ある。片方だけだと条件が2本しか立たず決まらない。
微分可能なら連続。値の一致も条件に入れる。

(2) $f (x)$ の最小値と、それを与える $x$ を求める

答 $x = - 1 - 3$ で最小値 $- 39 - 243$

方針 $∣ x ∣ \leq 1$ の側と $∣ x ∣ > 1$ の側で別々に増減を調べ、低いほうを採る。 $∣ x ∣ > 1$ 側の $h^{'}$ が因数分解できるのが鍵。

$∣ x ∣ \leq 1$ のとき。 $g^{'} (x) = 12 x (2 x - 1)$ より $x = - 1$ から増加、 $x = 0$ で極大 $2$ 、 $x = \frac{1}{2}$ で極小 $\frac{3}{2}$ 、そこから増加。端の $g (- 1) = - 12$ がこの範囲の最小。

$∣ x ∣ > 1$ のとき。

h^{'} (x) = 12 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x = 12 x (x^{2} + 2 x - 2)

$x^{2} + 2 x - 2 = 0$ の解は $x = - 1 \pm 3$ 。 $∣ x ∣ > 1$ に入るのは $x = - 1 - 3 = - 2.732 \dots$ だけ。 $x < - 1 - 3$ で $h^{'} < 0$ 、 $- 1 - 3 < x < - 1$ で $h^{'} > 0$ なので、ここで極小。 $x > 1$ では $h^{'} > 0$ で増加。