東北大学　2026年度　前期日程　理系

第4問確率の解答・解説

2次元ランダムウォーク・45度の回転で独立化・二項分布・条件つき確率当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

答 $\frac{49}{4096}$

方針 $u = x + y, v = x - y$ とおく（ $4 5^{\circ}$ 回転）。4通りの移動が $(u, v)$ の $(\pm 1, \pm 1)$ の4通りの組み合わせにちょうど対応し、 $u$ と $v$ が独立な1次元の歩きになる。

4通りが等確率なので、 $u$ と $v$ はそれぞれ独立に $\pm 1$ を等確率で足していく。 $(4, 0)$ は $u = 4, v = 4$ 。

P (u_{8} = 4) = \frac{_{8} C _{6}}{2 ^{8}} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}

$v$ も同じなので、掛けて $(\frac{7}{64})^{2} = \frac{49}{4096}$ 。

答案で省略しない方がよい点

答 $\frac{7}{256}$

方針 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y) = uv$ 。つまり条件はそのまま $uv = 16$ 。(1) の独立性で、 $u, v$ の組を数え上げるだけになる。

時刻 $8$ では $u, v$ はともに $- 8$ 以上 $8$ 以下の偶数。 $uv = 16$ をみたす組は

(u, v) = (2, 8), (4, 4), (8, 2), (- 2, - 8), (- 4, - 4), (- 8, - 2)

$P (u = 2) = \frac{56}{256}, P (u = 4) = \frac{28}{256}, P (u = 8) = \frac{1}{256}$ （負も同じ）なので

2 (2 \cdot \frac{56}{256} \cdot \frac{1}{256} + (\frac{28}{256})^{2}) = \frac{1792}{65536} = \frac{7}{256}

検算

$4^{8} = 65536$ 通りを全部調べても $1792$ 通りで一致する。

答案で省略しない方がよい点

$u, v$ がともに偶数なので、 $uv = 16$ の分解で $(16, 1)$ や $(1, 16)$ は起こらない。範囲 $∣ u ∣, ∣ v ∣ \leq 8$ も効く。

答 $\frac{45}{1792}$

方針 $(4, 2)$ は $u = 6, v = 2$ 。 $∣ u ∣ \leq t$ と偶奇から、そこにいられる時刻は $t = 6$ しかない。ここに気づけば場合が1つに絞れる。

$u = 6$ には時刻 $6$ 以上でないと届かず、 $u$ の偶奇は時刻と同じなので $t$ は偶数。 $1 \leq t \leq 7$ と合わせて $t = 6$ のみ。

P (u_{6} = 6) = \frac{1}{2 ^{6}}, P (v_{6} = 2) = \frac{_{6} C _{4}}{2 ^{6}} = \frac{15}{64}

よって時刻 $6$ に $(4, 2)$ にいる確率は $\frac{15}{4096}$ 。そこから残り2歩で

$u_{8} \in {4, 6, 8}$ が確率 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ 、 $v_{8} \in {0, 2, 4}$ が確率 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$
$u_{8} v_{8} = 16$ となるのは $(4, 4)$ と $(8, 2)$ で、確率は $\frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{3}{16}$