東北大学　2026年度　前期日程　理系

第5問積分法の解答・解説

媒介変数表示の接線・指数関数と三角関数の積の積分・積和の公式・回転体の体積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/06時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)直線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $x = \frac{e ^{π /4}}{2}$

方針 $y$ 軸に平行な接線は $\frac{d x}{d t} = 0$ のところ。 $\frac{d y}{d t} \neq = 0$ も確かめる。

\frac{d x}{d t} = e^{t} (cos t - sin t) = 0 ⟺ tan t = 1 ⟺ t = \frac{π}{4}

このとき $\frac{d y}{d t} = e^{t} (sin t + cos t) = 2 e^{π /4} \neq = 0$ なので、確かに $y$ 軸に平行な接線をもつ。接点の $x$ 座標は $e^{π /4} cos \frac{π}{4} = \frac{e ^{π /4}}{2}$ 。

答案で省略しない方がよい点

$\frac{d x}{d t} = 0$ だけでは不十分。 $\frac{d y}{d t} = 0$ も同時だと接線の向きが決まらない。

(2) $I = \int e^{α t} cos β t d t$ と $J = \int e^{α t} sin β t d t$ を求める

答 $I = \frac{e ^{α t} ( α cos β t + β sin β t )}{α ^{2} + β ^{2}} + C, J = \frac{e ^{α t} ( α sin β t - β cos β t )}{α ^{2} + β ^{2}} + C$

方針部分積分を2回すると元の形に戻るので、 $I$ と $J$ の連立方程式として解く。

$e^{α t}$ を積分する向きで部分積分すると

I = \frac{e ^{α t} c o s β t}{α} + \frac{β}{α} J, J = \frac{e ^{α t} s i n β t}{α} - \frac{β}{α} I

$J$ を消すと $(1 + \frac{β ^{2}}{α ^{2}}) I = \frac{e ^{α t}}{α} (cos β t + \frac{β}{α} sin β t)$ となり、整理して上の形になる。 $J$ も同様。

検算

$I$ を微分すると $\frac{e ^{α t} { α ( α cos β t + β sin β t ) + ( - α β sin β t + β ^{2} cos β t ) }}{α ^{2} + β ^{2}} = e^{α t} cos β t$ 。確かに戻る。

(3) $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転させた立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{π}{60} (2 e^{3 π /4} - 4)$

方針 $0 \leq t \leq \frac{π}{4}$ では $x$ は増加するので、この部分の曲線は $x$ の関数のグラフになる。 $V = π \int y^{2} d x$ を $t$ の積分に直し、積和の公式で (2) が使える形にほぐす。

$D$ は、 $t = 0$ の点 $(1, 0)$ から接点までの弧、直線 $ℓ$ 、および $x$ 軸で囲まれた部分。 $x$ は $t$ について増加だから

V = π \int y^{2} d x = π \int_{0}^{π /4} e^{2 t} sin^{2} t \cdot e^{t} (cos t - sin t) d t

$sin^{2} t cos t = \frac{cos t - cos 3 t}{4}$ 、 $sin^{3} t = \frac{3 sin t - sin 3 t}{4}$ を使うと

V = \frac{π}{4} \int_{0}^{π /4} e^{3 t} (cos t - cos 3 t - 3 sin t + sin 3 t) d t

(2) を $α = 3$ 、 $β = 1, 3$ で使い、まとめると原始関数は

G (t) = e^{3 t} (\frac{3 c o s t - 4 s i n t}{5} - \frac{c o s 3 t}{3})

$G (0) = \frac{3}{5} - \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$ 、 $G (\frac{π}{4}) = \frac{2}{15} e^{3 π /4}$ なので

V = \frac{π}{4} (\frac{2}{15} e^{3 π /4} - \frac{4}{15}) = \frac{π}{60} (2 e^{3 π /4} - 4)

検算

$e^{3 π /4} = 10.5507 \dots$ なので $V = 0.5718 \dots$ 。数値積分でも同じ値になる。

答案で省略しない方がよい点

回転させるのは $0 \leq t \leq \frac{π}{4}$ の弧の下側。 $t > \frac{π}{4}$ では $x$ が減るので、同じ式で積分すると重なった部分を引いてしまう。
$sin^{2} t (cos t - sin t)$ を積和でほぐす。展開せずに $e^{3 t}$ と掛けると (2) が使えない。