第6問 空間図形・ベクトルの解答・解説

$\mathrm{A}\ne \mathrm{P}$ より $a\ne 1$。$\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ はどちらも直線 $\mathrm{OA}$ 上の点なので、直線 $\mathrm{AP}$ は直線 $\mathrm{OA}$ に一致する。

平面 $\alpha$ は $\mathrm{A},\mathrm{P}$ を含むので直線 $\mathrm{OA}$ を含み、したがって $\mathrm{O}$ を通る。$\mathrm{B}$ も $\alpha$ 上なので、$\alpha$ は $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ の定める平面。

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=b\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ より $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{OB}$ 上にあり、この直線は $\alpha$ に含まれる。よって $\mathrm{Q}$ は $\alpha$ 上。

$\mathrm{O}$ を原点とみて $\vec{m}=\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\vec{x}$ に対し $f(\mathrm{X})=|\vec{x}{|}^2-2\vec{x}\cdot \vec{m}+|\vec{m}{|}^2-r^2$。$\mathrm{B}\in S$ より $2\vec{b}\cdot \vec{m}=|\vec{b}{|}^2+|\vec{m}{|}^2-r^2$ で、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=b\vec{b}$ を入れると

同じ計算を $\mathrm{A},\mathrm{P}$ について行うと $f(\mathrm{P})=(a-1)\left\{a{\left|\vec{a}\right|}^2-f(\mathrm{O})\right\}$。$\mathrm{P}\in S$ かつ $a\ne 1$ なので

与えられた条件 $a{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2=b{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2$ と合わせると $b{\left|\vec{b}\right|}^2=f(\mathrm{O})$、したがって $f(\mathrm{Q})=0$。つまり $\mathrm{Q}$ は球面 $S$ 上にある。

$\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{CD}$ 上にもある。直線と球面の共有点は多くとも2個で、$\mathrm{C},\mathrm{D}$ は相異なる共有点だから、$S$ と直線 $\mathrm{CD}$ の共有点はちょうど $\mathrm{C},\mathrm{D}$ の2点。よって $\mathrm{Q}=\mathrm{C}$ または $\mathrm{Q}=\mathrm{D}$。