京都大学　2026年度　前期日程　文系

第5問確率の解答・解説

最大値の分布・期待値・二項係数の恒等式・ホッケースティック和当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は京都大学が公開しています。

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掲載ページ名「令和8年度「試験問題」及び「解答又は解答例等及び出題意図」」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

$X$ の期待値を求める

答 $E [X] = \frac{3 ( n + 1 )}{4}$

方針 $X = x$ となるのは「 $x$ を引き、残り2枚を $x$ 未満から引く」とき。期待値の和に $x (2 x - 1) = 3 (3 x)$ という二項係数の書き換えを使うと、和が一気にたたまれる。

最大が $x$ になるのは、 $x$ を含み、残り2枚が $1, \dots, x - 1$ から選ばれるとき。よって

P (X = x) = \frac{( 2 x - 1 )}{( 3 n )} (x = 3, 4, \dots, n)

期待値の分子に現れる $x (2 x - 1)$ は

x (2 x - 1) = x \cdot \frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{2} = 3 \cdot \frac{x ( x - 1 ) ( x - 2 )}{6} = 3 (3 x)

$x = 3 \sum n (3 x) = (4 n + 1)$ （二項係数の和の公式）だから

E [X] = \frac{3 ( 4 n + 1 )}{( 3 n )} = 3 \cdot \frac{\frac{( n + 1 ) n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{24}}{\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}} = \frac{3 ( n + 1 )}{4}

検算

$n = 3$ なら引き方は1通りで $X = 3$ 、式も $\frac{3 \cdot 4}{4} = 3$ 。 $n = 4$ なら4通りで $\frac{3 + 4 + 4 + 4}{4} = \frac{15}{4}$ 、式も $\frac{3 \cdot 5}{4} = \frac{15}{4}$ 。

答案で省略しない方がよい点

$x$ の動く範囲は $3$ から $n$ 。 $X$ は3枚の最大なので $2$ 以下にはならない。
$x (2 x - 1) = 3 (3 x)$ に気づかないと、 $\sum x^{3}$ などを展開することになって計算が重くなる。

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X の期待値を求める

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