京都大学　2026年度　前期日程　文系

第4問数列・対数の解答・解説

ガウス記号・区間ごとに同じ値・等比数列の和・シグマの計算当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/05

問題文について

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掲載ページ名「令和8年度「試験問題」及び「解答又は解答例等及び出題意図」」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $a_{26}$ を求める

答 $a_{26} = 42$

方針 $[lo g_{3} k]$ は $k$ が $3$ のべきをまたぐところでしか変わらない。値が同じ区間ごとにまとめて数える。

$[lo g_{3} k] = j ⟺ 3^{j} \leq k < 3^{j + 1}$ なので

$k = 1, 2$ … 値は $0$ （ $2$ 個）
$k = 3, \dots, 8$ … 値は $1$ （ $6$ 個）
$k = 9, \dots, 26$ … 値は $2$ （ $18$ 個）

a_{26} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 18 = 42

答案で省略しない方がよい点

$26 = 3^{3} - 1$ なので、ちょうど値 $2$ の区間の右端で切れている。 $k = 27$ まで入れると値 $3$ が1つ加わってしまう。

(2) $m = 3^{N} - 1$ のとき $a_{m}$ を $N$ で表す

答 $a_{m} = \frac{( 2 N - 3 ) \cdot 3 ^{N} + 3}{2}$

方針(1) と同じ区切り方がそのまま使える。 $m = 3^{N} - 1$ は区間の右端なので、 $j = 0$ から $N - 1$ までがちょうど過不足なく入る。

$[lo g_{3} k] = j$ となる $k$ は $3^{j}$ 個から $3^{j + 1} - 1$ 個までの $3^{j + 1} - 3^{j} = 2 \cdot 3^{j}$ 個。 $k$ は $1$ から $3^{N} - 1$ までなので $j = 0, 1, \dots, N - 1$ がちょうど収まり

a_{m} = \sum_{j = 0}^{N - 1} j \cdot 2 \cdot 3^{j} = 2 \sum_{j = 0}^{N - 1} j \cdot 3^{j}

$T = j = 0 \sum N - 1 j \cdot 3^{j}$ とおき、 $3 T - T$ を作ると（等比数列の和に帰着する）

2 T = (N - 1) 3^{N} - \sum_{j = 1}^{N - 1} 3^{j} = (N - 1) 3^{N} - \frac{3 ^{N} - 3}{2}

よって $4 T = (2 N - 3) 3^{N} + 3$ となり、 $a_{m} = 2 T = \frac{( 2 N - 3 ) 3 ^{N} + 3}{2}$ 。

検算

$N = 3$ とすると $m = 26$ で、 $\frac{3 \cdot 27 + 3}{2} = 42$ 。(1) と一致する。 $N = 1$ なら $m = 2$ 、 $\frac{( - 1 ) \cdot 3 + 3}{2} = 0$ で、 $a_{2} = 0$ とも合う。

答案で省略しない方がよい点

$\sum j x^{j}$ は $3 T - T$ のずらし算で出す。公式を覚えていなくても作れる。
$j$ の範囲が $0$ から $N - 1$ であることを確かめる。 $m$ が区間の右端だから、ここがぴったり揃う。

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(1)a26​ を求める

(2)m=3N−1 のとき am​ を N で表す

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