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東北大学　2019年度　前期日程　文系

第3問数列の解答・解説

積の形の漸化式・比の数列・数学的帰納法・等比数列当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 3$ 、 $a_{n + 2} a_{n} = 2 a_{n + 1}^{2}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）で定めるとき、すべての正の整数 $n$ について $a_{n}$ が正であることを示す

答 $a_{n}, a_{n + 1} > 0$ ならば $a_{n + 2} = \frac{2 a _{n + 1}^{2}}{a _{n}} > 0$ 。2つ前までを仮定する帰納法

漸化式は $a_{n + 2}$ について解くと $a_{n + 2} = \frac{2 a _{n + 1}^{2}}{a _{n}}$ である。割り算をするので $a_{n} \neq = 0$ が要る。「連続する2項がともに正」を仮定する形の帰納法にする。

「 $a_{n} > 0$ かつ $a_{n + 1} > 0$ 」という命題を $n$ について数学的帰納法で示す。

$n = 1$ 。 $a_{1} = 1 > 0$ 、 $a_{2} = 3 > 0$ ✓。

$n \to n + 1$ 。 $a_{n} > 0$ かつ $a_{n + 1} > 0$ と仮定する。 $a_{n} \neq = 0$ なので漸化式を $a_{n + 2}$ について解けて

a_{n + 2} = \frac{2 a _{n + 1}^{2}}{a _{n}}

である。分子は $2 a_{n + 1}^{2} > 0$ （ $a_{n + 1} \neq = 0$ だから）、分母は $a_{n} > 0$ なので $a_{n + 2} > 0$ である。よって「 $a_{n + 1} > 0$ かつ $a_{n + 2} > 0$ 」が成り立つ。

数学的帰納法より、すべての正の整数 $n$ で $a_{n} > 0$ である。 $■$

分数のまま $a_{10}$ まで計算すると、すべて正の整数だった。

$a_{n + 2}$ を求めるのに $a_{n}$ で割るので、 $a_{n} \neq = 0$ が要る。「正である」を仮定に入れておけばそこも同時に片づく。

仮定は1項ではなく連続する2項。 $a_{n + 2}$ は $a_{n}$ と $a_{n + 1}$ の両方から決まるためである。

(2)一般項 $a_{n}$ を求める

答 $a_{n} = 3^{n - 1} \cdot 2^{\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2}}$

漸化式を $\frac{a _{n + 2}}{a _{n + 1}} = 2 \cdot \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ の形に直すと、「比の数列」が等比数列になる。

(1) よりすべての $a_{n}$ は正なので、割り算ができる。漸化式 $a_{n + 2} a_{n} = 2 a_{n + 1}^{2}$ の両辺を $a_{n + 1} a_{n}$ で割ると

\frac{a _{n + 2}}{a _{n + 1}} = 2 \cdot \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

である。 $b_{n} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ とおくと

b_{n + 1} = 2 b_{n}, b_{1} = \frac{a _{2}}{a _{1}} = 3

なので、 ${b_{n}}$ は初項 $3$ 、公比 $2$ の等比数列である。よって

b_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}

である。

$a_{n}$ に戻す。 $n ≧ 2$ のとき、 $a_{n} = a_{1} b_{1} b_{2} \dots b_{n - 1}$ である。それぞれ $b_{k} = 3 \cdot 2^{k - 1}$ なので

a_{n} = 1 \cdot (3 \cdot 2^{0}) (3 \cdot 2^{1}) \dots (3 \cdot 2^{n - 2}) = 3^{n - 1} \cdot 2^{0 + 1 + \dots + (n - 2)}

である。指数の和は

0 + 1 + \dots + (n - 2) = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 )}{2}

なので

a_{n} = 3^{n - 1} \cdot 2^{\frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2}}

である。 $n = 1$ のときもこの式は $3^{0} \cdot 2^{0} = 1 = a_{1}$ となり、正しい。

$n = 1, 2, 3, 4$ で $1, 3, 18, 216$ となる。 $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ が $3, 6, 12, 24, \dots$ と2倍ずつになっているのが確かめられる。

この式は分数のまま計算した $a_{1}, \dots, a_{10}$ と完全に一致した。

$a_{n + 2} a_{n} = 2 a_{n + 1}^{2}$ は「積の形」なので、比をとるか対数をとるかで線形にする。そのまま展開しても進まない。

$a_{n} = a_{1} b_{1} \dots b_{n - 1}$ と書けるのは $n ≧ 2$ のとき。 $n = 1$ でも式が合うことを最後に確かめる。

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問題文について

(1)数列 {an​} を a1​=1、a2​=3、an+2​an​=2an+12​（n=1,2,3,…）で定めるとき、すべての正の整数 n について an​ が正であることを示す

(2)一般項 an​ を求める

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