第2問 対数関数の解答・解説

真数条件。 $x-n>0$ かつ $2n-x>0$ なので

である。$n=6$ なら $6<x<12$ で、整数は $x=7,8,9,10,11$ である。

不等式の書きかえ。 右辺は $\frac{1}{2}{\log }_a\left(2n-x\right)={\log }_a\sqrt{2n-x}$ なので、もとの不等式は

である。$u=x-n>0$ とおくと $2n-x=n-u$ だから、底で分けて

1. $a>1$：$u>\sqrt{n-u}$
2. $0<a<1$：$u<\sqrt{n-u}$

となる。$u>0$、$n-u>0$ なので両辺を2乗してよく、$u^2$ と $n-u$ の大小、すなわち $u^2+u-n$ の符号で決まる。

$n=6$ のとき。 $u=x-6$ で $u=1,2,3,4,5$ であり

である。$u>0$ では $u+3>0$ なので、符号は $u-2$ で決まる。

1. $a>1$ のとき $u^2+u-6>0$、つまり $u>2$ なので $u=3,4,5$、すなわち $x=9,10,11$
2. $0<a<1$ のとき $u^2+u-6<0$、つまり $u<2$ なので $u=1$、すなわち $x=7$

である（$u=2$、すなわち $x=8$ は両辺が等しくなるので除く）。

真数条件 $n<x<2n$ より、整数 $x$ は $u=x-n$ とおいて $1\leqq u\leqq n-1$ の整数に対応する。(1) と同じ計算で、不等式は

1. $a>1$：$u^2+u>n$
2. $0<a<1$：$u^2+u<n$

となる。$u\mapsto u^2+u$ は $u\geqq 1$ で増加するので、$1\leqq u\leqq n-1$ では

である（$n\geqq 2$ のとき）。

$n=1$ のとき。 $1<x<2$ に整数はないので、どちらの場合も解なし。

$n=2$ のとき。 $u=1$ だけで $u^2+u=2=n$ である。$>n$ も $<n$ も成り立たないので解なし。

$n\geqq 3$ のとき。 $a>1$ なら $u=n-1$ をとると

なので成り立つ。$0<a<1$ なら $u=1$ をとると $u^2+u=2<n$ が成り立つ。いずれの場合も整数解が存在する。

以上より、求める必要十分条件は

である。

答えが $a$ によらないのが面白いところである。$a>1$ では「$u$ を大きくとればよい」、$0<a<1$ では「$u=1$ ととればよい」と、使う $x$ はまったく違うのに、存在する条件だけは一致する。