第4問 確率の解答・解説

1回目の試行では $n$ 枚すべてが金貨である。裏が出た金貨が取り去られるので、残る金貨は表が出たものだけである。

$n$ 枚の硬貨それぞれが独立に確率 $\frac{1}{2}$ で表になるから、表がちょうど $j$ 枚になる確率は

である。

1枚ずつ追う。 銀貨は何度投げてもそのままなので、金貨が増えることはない。はじめの $n$ 枚の金貨それぞれについて、$k$ 回の試行のあいだ金貨のまま残っているのは「$k$ 回とも表が出た」ときだけである。その確率は

である。逆に、途中で一度でも裏が出れば銀貨に変わり、以後もどらない。その確率は $1-\frac{1}{2^k}=\frac{2^k-1}{2^k}$ である。

独立性。 $n$ 枚の硬貨の表裏は毎回独立なので、「どの金貨が残るか」は $n$ 枚それぞれについて独立である。したがって、$k$ 回後に金貨が $j$ 枚残る確率は

である。

$k=1$ を代入すると ${}_n{\mathrm{C}}_j\frac{1^{n-j}}{2^n}=\frac{{}_n{\mathrm{C}}_j}{2^n}$ で、(1) と一致する。つまりこの式は $k\geqq 1$ のすべてで使える。

$k$ 回後の金貨の枚数を $X_k$ とする。求める確率は

である。金貨は増えないので、$X_2=0$ ならば必ず $X_3=0$ である。つまり「$X_3=0$」という事象は「$X_2=0$」を含んでいる。したがって

である。(2) の式で $n=3$、$j=0$ とすると

なので

である。引き算して

である。

$P_k(0)={\left(1-\frac{1}{2^k}\right)}^3$ は「3枚とも $k$ 回のうちに1回以上裏を出す確率」である。$\frac{127}{512}=0.248\cdots$ で、だいたい4回に1回起こる。