東北大学　2019年度　前期日程　文系

第1問図形と方程式の解答・解説

解と係数の関係・2次方程式・黄金比・条件からの絞り込み当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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答 $a = 2 - 5$ 、 $b = \frac{1 - 5}{2}$

$b, c$ は交点の $x$ 座標なので、 $x^{2} - a x + a = 0$ の2解である。解と係数の関係で $b + c$ と $b c$ を $a$ で書き、 $c = b^{2}$ を代入する。

交点の $x$ 座標は $x^{2} + a = a x$ 、すなわち

x^{2} - a x + a = 0

の解である。相異なる2点で交わるので、 $b, c$ はこの2次方程式の異なる2解である。解と係数の関係より

b + c = a, b c = a

である。ここに $c = b^{2}$ を代入すると

b + b^{2} = a, b \cdot b^{2} = b^{3} = a

となる。この2つから $a$ を消去して

b^{3} = b^{2} + b, b (b^{2} - b - 1) = 0

である。 $b = 0$ とすると $a = b^{3} = 0$ となり $a \neq = 0$ に反するので、 $b \neq = 0$ である。よって

b^{2} - b - 1 = 0, b = \frac{1 \pm 5}{2}

で、 $b < 0$ より

b = \frac{1 - 5}{2}

である。 $a$ は $a = b^{2} + b$ で、 $b^{2} = b + 1$ だから

a = (b + 1) + b = 2 b + 1 = (1 - 5) + 1 = 2 - 5

である。

条件の確認。 $a = 2 - 5 = - 0.236 \dots \neq = 0$ ✓。判別式は

a^{2} - 4 a = (2 - 5)^{2} - 4 (2 - 5) = (9 - 45) - (8 - 45) = 1 > 0

なので2解は相異なる ✓。また $c = b^{2} = b + 1 = \frac{3 - 5}{2} = 0.382 \dots \neq = b$ ✓。よって

a = 2 - 5, b = \frac{1 - 5}{2}

である。

求めた a = 2 - √5 ≒ -0.236 のとき。直線 y = ax と放物線 y = x² + a は2点で交わり、左の交点 P の x 座標 b ≒ -0.618 を2乗すると、右の交点 Q の x 座標 c ≒ 0.382 になる。

$b^{2} - b - 1 = 0$ の解は黄金比にあたる数である。 $b = \frac{1 - 5}{2}$ は $- \frac{1}{φ}$ （ $φ = \frac{1 + 5}{2}$ ）で、 $b^{2} = b + 1$ という関係がそのまま使える。

$b + c = b c = a = - 0.236067977$ で、 $P, Q$ はどちらも放物線上にあった。判別式は $1$ だった。

$b, c$ が2次方程式の2解であることに気づけば、解と係数の関係で一気に進む。 $P, Q$ の座標を直接連立すると遠回りになる。

$b = 0$ を除く理由（ $a \neq = 0$ ）を書く。

最後に判別式が正であること（相異なる2点であること）を確かめる。

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