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九州大学　2019年度　前期日程　理科系

第4問数列の解答・解説

垂線の足・漸化式・等比数列・極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$n \to \infty$ のとき $P_{n}$ が限りなく近づく点の座標を求める

答 $(\frac{5}{3}, \frac{3}{3})$

$P_{n}$ を線分 $AB$ 上の位置 $t_{n}$ （ $A$ からの比）で表すと、1回の操作が $t$ の1次式になる。あとは等比数列に帰着する。

$OAB$ は1辺 $2$ の正三角形である（ $OA = 2$ 、 $OB = 1 + 3 = 2$ 、 $AB = 1 + 3 = 2$ ）。

$P_{n}$ の表し方。 $P_{n} = A + t_{n} (B - A)$ とおく（ $0 < t_{n} < 1$ ）。成分で書くと

P_{n} = (2 - t_{n}, 3 t_{n})

である。

$Q_{n}$ 。 $OB$ 方向の単位ベクトルは $e = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ である。

OP_{n} \cdot e = \frac{2 - t _{n}}{2} + \frac{3 \cdot 3 t _{n}}{2} = \frac{2 - t _{n} + 3 t _{n}}{2} = 1 + t_{n}

なので $Q_{n} = (1 + t_{n}) e = (\frac{1 + t _{n}}{2}, \frac{3 ( 1 + t _{n} )}{2})$ である。

$R_{n}$ 。 $OA$ は $x$ 軸上なので、 $Q_{n}$ から下ろした垂線の足は $y$ 座標を $0$ にするだけ。

R_{n} = (r_{n}, 0), r_{n} = \frac{1 + t _{n}}{2}

である。

$P_{n + 1}$ 。 $AB$ 方向の単位ベクトルは $d = \frac{B - A}{2} = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ である。 $AR_{n} = (r_{n} - 2, 0)$ だから

AR_{n} \cdot d = - \frac{r _{n} - 2}{2} = \frac{2 - r _{n}}{2}

で、 $P_{n + 1} = A + \frac{2 - r _{n}}{2} d = A + \frac{2 - r _{n}}{4} (B - A)$ である。つまり

t_{n + 1} = \frac{2 - r _{n}}{4} = \frac{2 - \frac{1 + t _{n}}{2}}{4} = \frac{3 - t _{n}}{8}

である。

極限。 不動点は $t = \frac{3 - t}{8}$ 、すなわち $9 t = 3$ 、 $t = \frac{1}{3}$ である。

t_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{3 - t _{n}}{8} - \frac{1}{3} = \frac{9 - 3 t _{n} - 8}{24} = - \frac{t _{n} - \frac{1}{3}}{8}

なので ${t_{n} - \frac{1}{3}}$ は公比 $- \frac{1}{8}$ の等比数列である。 $- \frac{1}{8} < 1$ だから

n \to \infty lim t_{n} = \frac{1}{3}

である。よって $P_{n}$ は

(2 - \frac{1}{3}, \frac{3}{3}) = (\frac{5}{3}, \frac{3}{3})

に近づく。

正三角形

OAB

と、極限の点

(\frac{5}{3}, \frac{3}{3})

（

AB

を

1 : 2

に内分する点）。

P_{n} \to Q_{n} \to R_{n} \to P_{n + 1}

と垂線を下ろすたびに、

AB

上の位置

t

が

\frac{1}{3}

へ

- \frac{1}{8}

倍ずつ近づく。

$t_{1} = 0.05, 0.5, 0.95$ の3通りで操作を $60$ 回くり返すと、いずれも $(1.666666667, 0.577350269)$ になり、 $(\frac{5}{3}, \frac{3}{3}) = (1.666666667, 0.577350269)$ と一致した。

$AB$ 上の位置を1つの数 $t$ で表すのが要点。2成分を追うと漸化式が見えない。

$A$ を起点にとると $t_{n + 1} = \frac{3 - t _{n}}{8}$ ときれいになる。 $B$ 起点でもよいが式が変わる。

公比が負（ $- \frac{1}{8}$ ）なので、 $t_{n}$ は $\frac{1}{3}$ の上下を行き来しながら近づく。

$P_{1}$ がどこでも同じ点に近づく。初期値によらないことが、公比の絶対値が $1$ より小さいことから分かる。

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n→∞ のとき Pn​ が限りなく近づく点の座標を求める

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