第1問積分法の解答・解説

2変数の最小・定積分の計算・平方完成・極限当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$x, y$ がすべての実数を動くときの $\int_{0}^{1} (sin (2 nπ t) - x t - y)^{2} d t$ の最小値を $I_{n}$ とするとき、 $n \to \infty lim I_{n}$ を求める

答 $I_{n} = \frac{1}{2} - \frac{3}{n ^{2} π ^{2}}$ 、 $n \to \infty lim I_{n} = \frac{1}{2}$

展開して項ごとに積分すると、 $x, y$ の2次式になる。 $y$ 、 $x$ の順に平方完成すればよい。必要な積分は3つだけである。

使う積分。 $s (t) = sin (2 nπ t)$ とおく。

\int_{0}^{1} s^{2} d t \int_{0}^{1} s d t \int_{0}^{1} t s d t = \int_{0}^{1} \frac{1 - cos ( 4 nπ t )}{2} d t = \frac{1}{2} = [- \frac{cos ( 2 nπ t )}{2 nπ}]_{0}^{1} = \frac{- 1 + 1}{2 nπ} = 0 = [- \frac{t cos ( 2 nπ t )}{2 nπ}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{cos ( 2 nπ t )}{2 nπ} d t = - \frac{1}{2 nπ}

である（2本目・3本目とも $cos (2 nπ) = 1$ 、 $\int_{0}^{1} cos (2 nπ t) d t = 0$ を使った）。 $A = - \frac{1}{2 nπ}$ とおく。

展開する。

J (x, y) = \int_{0}^{1} (s - x t - y)^{2} d t = \int_{0}^{1} s^{2} d t - 2 x \int_{0}^{1} t s d t - 2 y \int_{0}^{1} s d t + x^{2} \int_{0}^{1} t^{2} d t + 2 x y \int_{0}^{1} t d t + y^{2} = \frac{1}{2} - 2 A x + \frac{x ^{2}}{3} + x y + y^{2}

である。

$y$ について平方完成。

y^{2} + x y = (y + \frac{x}{2})^{2} - \frac{x ^{2}}{4}

なので、 $y = - \frac{x}{2}$ のとき最小で

J = \frac{1}{2} - 2 A x + \frac{x ^{2}}{3} - \frac{x ^{2}}{4} = \frac{1}{2} - 2 A x + \frac{x ^{2}}{12}

となる。

$x$ について平方完成。

\frac{x ^{2}}{12} - 2 A x = \frac{1}{12} (x - 12 A)^{2} - 12 A^{2}

なので、 $x = 12 A$ のとき最小で

I_{n} = \frac{1}{2} - 12 A^{2} = \frac{1}{2} - 12 \cdot \frac{1}{4 n ^{2} π ^{2}} = \frac{1}{2} - \frac{3}{n ^{2} π ^{2}}

である。したがって

n \to \infty lim I_{n} = \frac{1}{2}

である。

$\int_{0}^{1} sin^{2} (2 nπ t) d t = \frac{1}{2}$ は $n$ によらない。 $n$ が大きいほど $sin (2 nπ t)$ は速く振動し、1次関数では近似しようがなくなる。だから最小値は「近似しない（ $x = y = 0$ ）」ときの値 $\frac{1}{2}$ に近づく。