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九州大学　2019年度　前期日程　理科系

第2問整式の解答・解説

次数の比較・恒等式・係数比較・連立方程式当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $f (x)$ の次数と $g (x)$ の次数はともに $2$ 以下であることを示す

答次数を $m, n$ とすると第1式から $2 m = n + 2$ 、第2式から $3 n = m + 4$ となり $m = n = 2$

両辺の次数を比べる。第1式から $n$ が $m$ で表せ、それを第2式に入れると $m$ が決まる。右辺でどの項が最高次になるかで場合分けが要る。

$f, g$ は $0$ でないので次数が定まる。 $m = de g f$ 、 $n = de g g$ とおく。

第1式。 左辺 $f (x^{2})$ の次数は $2 m$ 。右辺 $(x^{2} + 2) g (x) + 7$ の次数は $n + 2$ （ $g$ の最高次係数は $0$ でないので打ち消しは起きず、 $n + 2 \geq 2 > 0$ だから $+ 7$ でも変わらない）。よって

2 m = n + 2, すなわち n = 2 m - 2

である。 $n \geq 0$ より $m \geq 1$ である。

第2式。 左辺 $g (x^{3})$ の次数は $3 n = 6 m - 6$ 。右辺は $x^{4} f (x)$ （次数 $m + 4$ ）、 $- 3 x^{2} g (x)$ （次数 $n + 2 = 2 m$ ）、 $- 6 x^{2} - 2$ （次数 $2$ ）の和である。 $m + 4$ と $2 m$ を比べて場合分けする。

$m < 4$ ： $m + 4 > 2 m$ かつ $m + 4 > 2$ なので右辺の次数は $m + 4$ 。 $6 m - 6 = m + 4$ より $m = 2$ 。これは $m < 4$ をみたす。◯
$m > 4$ ： $2 m > m + 4$ なので右辺の次数は $2 m$ 。 $6 m - 6 = 2 m$ より $m = \frac{3}{2}$ となり $m > 4$ に反する。×
$m = 4$ ： $m + 4 = 2 m = 8$ で打ち消しの可能性がある。第1式の最高次を比べると、 $f$ の最高次係数と $g$ の最高次係数が等しい（ともに $x^{8}$ の係数）。よって $x^{4} f - 3 x^{2} g$ の $x^{8}$ の係数は $1 - 3 = - 2$ 倍になって $0$ でなく、右辺の次数は $8$ 。左辺は $3 n = 18$ で合わない。×

よって $m = 2$ 、 $n = 2 m - 2 = 2$ である。どちらも $2$ 以下（実際は $2$ ちょうど）である。

(2) で求める $f = x^{2} + 3$ 、 $g = x^{2} - 2$ はどちらも2次で、確かに $2 m = 4 = n + 2$ 、 $3 n = 6 = m + 4$ をみたす。

$m = 4$ のときだけ打ち消しが起こりうる。ここを飛ばすと論証が穴になる。第1式から2つの最高次係数が等しいと分かるのが鍵である。

$n = 2 m - 2 \geq 0$ から $m \geq 1$ が出る。 $m = 0$ （定数）は第1式を成り立たせられない。

(2) $f (x)$ と $g (x)$ を求める

答 $f (x) = x^{2} + 3$ 、 $g (x) = x^{2} - 2$

(1) より $f = a x^{2} + b x + c$ 、 $g = p x^{2} + q x + r$ とおける。第1式から $q = 0$ などが決まり、第2式に入れれば残りも決まる。

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ 、 $g (x) = p x^{2} + q x + r$ （ $a \neq = 0$ 、 $p \neq = 0$ ）とおく。

第1式。

f (x^{2}) (x^{2} + 2) g (x) + 7 = a x^{4} + b x^{2} + c = p x^{4} + q x^{3} + (r + 2 p) x^{2} + 2 q x + (2 r + 7)

を係数比較して

a = p, q = 0, b = r + 2 p, c = 2 r + 7

である（ $x$ の係数からも $q = 0$ ）。

第2式。 $q = 0$ を使って

g (x^{3}) x^{4} f (x) - 3 x^{2} g (x) - 6 x^{2} - 2 = p x^{6} + r = a x^{6} + b x^{5} + (c - 3 p) x^{4} - (3 r + 6) x^{2} - 2

を係数比較すると

$x^{6}$ ： $p = a$ （第1式と同じ）
$x^{5}$ ： $0 = b$
$x^{4}$ ： $0 = c - 3 p$ 、すなわち $c = 3 p$
$x^{2}$ ： $0 = - (3 r + 6)$ 、すなわち $r = - 2$
定数項： $r = - 2$ （上と一致）

である。 $b = 0$ と $b = r + 2 p$ から $0 = - 2 + 2 p$ 、よって $p = 1$ 、 $a = 1$ 。 $c = 3 p = 3$ で、第1式の $c = 2 r + 7 = - 4 + 7 = 3$ とも合う。

したがって

f (x) = x^{2} + 3, g (x) = x^{2} - 2

である。

確かめ。

(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) + 7 x^{4} (x^{2} + 3) - 3 x^{2} (x^{2} - 2) - 6 x^{2} - 2 = x^{4} - 4 + 7 = x^{4} + 3 = f (x^{2}) = x^{6} + 3 x^{4} - 3 x^{4} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 = x^{6} - 2 = g (x^{3})

で、どちらも成り立つ。

$x$ を $- 5$ から $5$ まで $0.01$ 刻みに動かして2つの恒等式を計算すると、どちらも $1 0^{- 9}$ 以内で成り立った。

第1式で $q = 0$ がまず決まる。これを第2式に入れてから係数比較すると式が短くなる。

$c$ は第1式（ $c = 2 r + 7$ ）と第2式（ $c = 3 p$ ）の両方から出る。食い違わないことを確かめておくと検算になる。

最後に両方の恒等式に代入して確かめる。係数比較は条件を使い切ったつもりでも抜けやすい。

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(1)f(x) の次数と g(x) の次数はともに 2 以下であることを示す

(2)f(x) と g(x) を求める

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