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九州大学　2019年度　前期日程　理科系

第5問複素数平面の解答・解説

1次分数変換・軌跡・絶対値・除外点当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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3条件 (ア)(イ)(ウ) をみたす $a, b, c$ を求め、さらに $C$ を求めて複素数平面上に図示する

答 $a = 1$ 、 $b = 1$ 、 $c = - 1$ 。 $C$ は単位円から点 $- 1$ を除いたもの

(ア) は $z = \pm i$ の2本の式で、辺々足し引きすると $a$ と $b$ が $c$ で表せる。(イ) は「虚軸上のすべての $z$ で $∣ w ∣ = 1$ 」を $t$ の恒等式にすると $∣ c ∣ = 1$ に落ちる。最後に (ウ) で $c$ が1つに決まる。

(ア) から $a, b$ 。 $z = i$ で $w = i$ より

ai + b = i (c i + 1) = - c + i \dots ①

$z = - i$ で $w = - i$ より

- ai + b = - i (- c i + 1) = - c - i \dots ②

である。① $-$ ② より $2 ai = 2 i$ 、すなわち

a = 1

① $+$ ② より $2 b = - 2 c$ 、すなわち

b = - c

である。よって $w = \frac{z - c}{cz + 1}$ である。

(イ) から $∣ c ∣ = 1$ 。 $z = i t$ （ $t$ は実数）とおく。 $c = p + q i$ として

∣ w ∣ = 1 ⟺ ∣ i t - c ∣ = ∣ c i t + 1 ∣

である。両辺を2乗すると

∣ i t - c ∣^{2} ∣ c i t + 1 ∣^{2} = ∣ - p + (t - q) i ∣^{2} = t^{2} - 2 q t + (p^{2} + q^{2}) = ∣ (1 - q t) + pt i ∣^{2} = (p^{2} + q^{2}) t^{2} - 2 q t + 1

となる。これがすべての実数 $t$ で等しいので、 $t$ の2次式として係数を比べて

1 = p^{2} + q^{2}, - 2 q = - 2 q, p^{2} + q^{2} = 1

すなわち

∣ c ∣ = 1

である。

(ウ) から $c = - 1$ 。 $∣ c ∣ = 1$ なので $c = cos θ + i sin θ$ と書ける。 $w = - 1$ となる $z = i t$ があるかを調べる。

\frac{i t - c}{c i t + 1} = - 1 ⟺ i t - c = - c i t - 1 ⟺ i t (1 + c) = c - 1

である。 $c \neq = - 1$ のとき $1 + c \neq = 0$ だから

i t = \frac{c - 1}{c + 1} = \frac{e ^{i θ} - 1}{e ^{i θ} + 1} = \frac{e ^{i \frac{θ}{2}} - e ^{- i \frac{θ}{2}}}{e ^{i \frac{θ}{2}} + e ^{- i \frac{θ}{2}}} = \frac{2 i sin \frac{θ}{2}}{2 cos \frac{θ}{2}} = i tan \frac{θ}{2}

となる（分母分子に $e^{- i θ /2}$ を掛けた）。 $c \neq = - 1$ なら $cos \frac{θ}{2} \neq = 0$ なので $t = tan \frac{θ}{2}$ は実数であり、この $z = i t$ に対して $w = - 1$ になってしまう。これは (ウ) に反する。

（分母が $0$ になる心配はない。 $c i t + 1 = 0$ は $t = \frac{i}{c}$ で、これが実数になるのは $c$ が純虚数のときだけだが、仮定より除かれている。）

よって

c = - 1, a = 1, b = - c = 1

である（ $c = - 1$ は実数なので「純虚数でない」をみたす）。

$C$ を求める。

w = \frac{z + 1}{- z + 1} = \frac{1 + i t}{1 - i t} (z = i t)

である。分子と分母は互いに共役なので $∣ w ∣ = 1$ である。偏角を見ると、 $1 + i t$ の偏角を $φ$ （ $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ 、 $tan φ = t$ ）として $1 - i t$ の偏角は $- φ$ だから

ar g w = 2 φ \in (- π, π)

である。 $t$ が実数全体を動くと $φ$ は $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 全体を動くので、 $ar g w$ は $(- π, π)$ 全体を動く。したがって

C = {w ∣ ∣ w ∣ = 1, w \neq = - 1}

すなわち単位円から点 $- 1$ を除いたものである。確かに (イ)(ウ) をみたしている。

軌跡

C

。単位円のうち、点

- 1

だけが抜けている（

\circ

印の位置）。

z = 0

のとき

w = 1

、

z = \pm i

のとき

w = \pm i

で、

z = i t

の

t

を

\pm \infty

に飛ばすと

w

は

- 1

に近づくが決して届かない。

$a = 1, b = 1, c = - 1$ で $w (i) = i$ 、 $w (- i) = - i$ を確かめた。 $t$ を $- 1000$ から $1000$ まで $0.01$ 刻みで動かすと $∣ w ∣ = 1$ が $1 0^{- 9}$ 以内で成り立ち、偏角は $\pm 3.1396$ までしか届かず、 $- 1$ への最接近は $0.002$ だった。 $c$ を単位円周上の他の点（ $e^{0.3 i}, e^{i}, e^{2 i}$ ）にとると、 $t = tan \frac{θ}{2}$ でちょうど $w = - 1$ になった。