第3問 確率の解答・解説

${\mathrm{P}}_1={\mathrm{P}}_2$ は $z_1=z_2$、すなわち重解で、$b^2=4ac$ である。右辺は偶数なので $b$ は偶数である。

1. $b=2$：$ac=1$ より $(a,c)=(1,1)$ の1通り
2. $b=4$：$ac=4$ より $(1,4),(2,2),(4,1)$ の3通り
3. $b=6$：$ac=9$ より $(3,3)$ の1通り

合わせて $5$ 通りだから

である。

解と係数の関係より $z_1{z}_2=\frac{c}{a}$ である。$\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1$ なら $\left|z_1{z}_2\right|=1$、$a,c>0$ だから

が必要である。以下 $c=a$ として、判別式 $D=b^2-4a^2$ で分ける。

1. $D<0$（$b<2a$）：$z_2=\overline{z_1}$ なので ${\left|z_1\right|}^2=z_1\overline{z_1}=z_1{z}_2=1$、つまり $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=1$。◯
2. $D=0$（$b=2a$）：重解 $z=-\frac{b}{2a}=-1$ で $\left|z\right|=1$。◯
3. $D>0$（$b>2a$）：相異なる実数解で積が $1$、和が $-\frac{b}{a}<0$。2数は異なるので片方の絶対値は $1$ より大きい。×

よって条件は「$c=a$ かつ $b\le 2a$」である。$a$ ごとに $b$ の個数を数える（$c$ は $a$ に決まる）。

合計 $2+4+6\cdot 4=30$ 通りだから

である。

実数解は不適。 $c\ge 1$ なので $0$ は解でなく、実数解なら ${\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2$ はともに実軸上の原点以外の点である。すると ${\ell }_1={\ell }_2=$ 実軸となり、なす角は $0^{\circ }$ である。

虚数解の場合。 $D<0$ のとき

である。$z_1$ の実部 $-\frac{b}{2a}<0$、虚部 $>0$ だから、偏角 $\theta$ は $90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ をみたす。$z_2$ の偏角は $-\theta$ である。

2直線のなす角は、方向の角の差 $2\theta$ を $180^{\circ }$ で測り直したもので、鋭角側をとると

である（$180^{\circ }<2\theta <360^{\circ }$）。これが $60^{\circ }$ になるのは

のときである。

条件を $a,b,c$ の式にする。 $\tan \theta =\frac{\text{虚部}}{\text{実部}}=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{-b}$ である。

1. $\theta =120^{\circ }$：$\tan 120^{\circ }=-\sqrt{3}$ より $\sqrt{4ac-b^2}=\sqrt{3}b$、2乗して $4ac-b^2=3b^2$、すなわち $ac=b^2$
2. $\theta =150^{\circ }$：$\tan 150^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ より $\sqrt{4ac-b^2}=\frac{b}{\sqrt{3}}$、2乗して $3\left(4ac-b^2\right)=b^2$、すなわち $3ac=b^2$

どちらも $4ac-b^2>0$（$D<0$）をみたす（前者は $3b^2>0$、後者は $\frac{b^2}{3}>0$）。

数える。 $ac=b^2$：

で $1+3+4=8$ 通り。$3ac=b^2$ は $b$ が $3$ の倍数に限られ

で $6$ 通り。2つの条件は同時には成り立たない（$ac=b^2$ かつ $3ac=b^2$ なら $b=0$）ので、合わせて $8+6=14$ 通りである。

である。