京都大学　2026年度　前期日程　文系

第3問整数の解答・解説

1次不定方程式・剰余類・表せない数の個数・フロベニウス数当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は京都大学が公開しています。

掲載ページ名「令和8年度「試験問題」及び「解答又は解答例等及び出題意図」」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

答 $k \in {0, 1, 2}$ の中に $p k \equiv N (mod 3)$ をみたすものがあり、そのとき $N - p k \geq N - 2 p \geq 0$ が $3$ の倍数になる

方針 $k$ を $0, 1, 2$ に限って探す。 $p$ は $3$ の倍数でないので、 $0, p, 2 p$ は $mod 3$ ですべて異なる値をとり、3つの剰余類を覆う。

$p$ は $3$ より大きい素数なので $3 ∤ p$ 。よって $0, p, 2 p$ を $3$ で割った余りはすべて異なり、 ${0, 1, 2}$ を覆う。

したがって、どんな $N$ に対しても $p k \equiv N (mod 3)$ をみたす $k \in {0, 1, 2}$ がただ1つある。この $k$ について $N - p k$ は $3$ の倍数。

さらに $N \geq 2 p$ かつ $k \leq 2$ だから $N - p k \geq N - 2 p \geq 0$ 。よって $m = \frac{N - p k}{3}$ は $0$ 以上の整数で、 $N = 3 m + p k$ と表せる。

答案で省略しない方がよい点

$k$ を $0, 1, 2$ に絞るのが要点。 $k$ を大きくしてもよいが、 $N - p k \geq 0$ が崩れる。
$p > 3$ が効くのは「 $p$ が $3$ の倍数でない」という一点。 $p = 3$ だと $0, p, 2 p$ がすべて $mod 3$ で $0$ になり、覆えない。

答 $p - 1$ 個

方針 $3$ で割った余りごとに分けて数える。各剰余類の中で、表せる最小の数は $p k$ （ $k \in {0, 1, 2}$ ）で、それ未満がすべて表せない。

余り $r \in {0, 1, 2}$ の類を考える。(1) より $p k_{r} \equiv r (mod 3)$ となる $k_{r} \in {0, 1, 2}$ がただ1つある。

$N \geq p k_{r}$ かつ $N \equiv r$ なら、 $N - p k_{r}$ が $0$ 以上の $3$ の倍数なので表せる
$N < p k_{r}$ かつ $N \equiv r$ なら、 $k \leq k_{r}$ でないと $N - p k < 0$ 。しかも $k \equiv k_{r} (mod 3)$ が要るので $k = k_{r}$ しかなく、表せない