京都大学　2026年度　前期日程　文系

第2問空間図形の解答・解説

正四面体・対辺の距離・球面と線分・最大・最小の両側当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は京都大学が公開しています。

掲載ページ名「令和8年度「試験問題」及び「解答又は解答例等及び出題意図」」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

答 $0 < r < \frac{2}{2}$ または $r > 1$

方針「球」ではなく「球面」なので、小さすぎても大きすぎても共有点をもたない。 $P$ から辺 $BC$ 上の点までの距離の最小と最大を両方押さえる必要がある。

$O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0), C (\frac{1}{2}, \frac{3}{6}, \frac{6}{3})$ と座標をとる（すべての辺の長さが $1$ になる）。

$P (s, 0, 0) (0 \leq s \leq 1)$ 、辺 $BC$ 上の点を $Q = B + w (C - B) (0 \leq w \leq 1)$ とすると、整理して

∣ PQ ∣^{2} = (s - \frac{1}{2})^{2} + (w - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}

$P$ を固定したときの最小距離 $d (s)$ と最大距離 $D (s)$ は

d (s)^{2} = (s - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}, D (s)^{2} = (s - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

球面が辺 $BC$ と共有点をもつのは $d (s) \leq r \leq D (s)$ のとき。 $z = (s - \frac{1}{2})^{2}$ は $0 \leq z \leq \frac{1}{4}$ を動くので、「ある $P$ で共有点をもつ」は

\exists z \in [0, \frac{1}{4}] : z + \frac{1}{2} \leq r^{2} \leq z + \frac{3}{4} ⟺ \frac{1}{2} \leq r^{2} \leq 1

求めるのはその否定だから $r^{2} < \frac{1}{2}$ または $r^{2} > 1$ 、すなわち $0 < r < \frac{2}{2}$ または $r > 1$ 。

検算

$\frac{2}{2}$ は正四面体の対辺の距離（ $OA$ と $BC$ の最短距離）で、 $1$ は辺の長さ。 $r = 1$ のときは $P = O$ とすると球面が $B$ を通ってしまう。境界の意味がはっきりしている。

答案で省略しない方がよい点

「球面」と「球」を取り違えない。球（中身入り）なら答えは $0 < r < \frac{2}{2}$ だけになる。 $r > 1$ が出てくるのは、球面が辺をまたいで外側に出てしまう場合があるから。
$P$ が端（ $O$ または $A$ ）にあるときに最大距離が $1$ になる。「どこにあっても」なので、いちばん厳しい $P$ で押さえる。