京都大学　2026年度　前期日程　文系

京大文系 2026年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/05

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は京都大学が公開しています。

問題文を見る（京都大学公式・外部サイト）

掲載ページ名「令和8年度「試験問題」及び「解答又は解答例等及び出題意図」」／2026/10/05に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　積分法

円の接線・6分の1公式・解と係数の関係・平方完成による最小値当サイトの体感難易度：標準

$S$ の最小値を求める

答 $S$ の最小値は $\frac{3}{2}$ （ $t = \frac{1}{2}$ のとき）

方針放物線と直線で囲む面積なので6分の1公式が使える。交点を求めずに、解と係数の関係から $(x_{2} - x_{1})^{2}$ だけを出せばよい。

$P$ は第1象限にあるので $P (1 - t^{2}, t)$ 。 $a = 1 - t^{2}$ とおくと、 $P$ における $C$ の接線は $a x + t y = 1$ 、すなわち $y = \frac{1 - a x}{t}$ 。

放物線との交点の $x$ 座標は

2 - x^{2} = \frac{1 - a x}{t} ⟺ t x^{2} - a x + (1 - 2 t) = 0

解を $x_{1} < x_{2}$ とすると、 $t > 0$ だから $2 - x^{2} - \frac{1 - a x}{t} = (x - x_{1}) (x_{2} - x)$ と書ける。よって6分の1公式から

S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (x - x_{1}) (x_{2} - x) d x = \frac{( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}

解と係数の関係で $x_{1} + x_{2} = \frac{a}{t}, x_{1} x_{2} = \frac{1 - 2 t}{t}$ だから

(x_{2} - x_{1})^{2} = \frac{a ^{2}}{t ^{2}} - \frac{4 ( 1 - 2 t )}{t} = \frac{( 1 - t ^{2} ) - 4 t ( 1 - 2 t )}{t ^{2}} = \frac{7 t ^{2} - 4 t + 1}{t ^{2}}

$7 t^{2} - 4 t + 1$ の判別式は $16 - 28 < 0$ なので、どんな $t$ でも正。つまり交点はつねに2つある。ここで

u = \frac{7 t ^{2} - 4 t + 1}{t ^{2}} = 7 - \frac{4}{t} + \frac{1}{t ^{2}}, v = \frac{1}{t} (> 1)

とおくと $u = v^{2} - 4 v + 7 = (v - 2)^{2} + 3$ 。 $0 < t < 1$ より $v > 1$ で、 $v = 2$ すなわち $t = \frac{1}{2}$ は範囲に入るから $u$ の最小値は $3$ 。

$S = \frac{u ^{3/2}}{6}$ は $u$ の増加関数なので

S_{m i n} = \frac{3 ^{3/2}}{6} = \frac{3 3}{6} = \frac{3}{2}

検算

$t = \frac{1}{2}$ のとき $a = \frac{3}{2}$ で、接線は $y = 2 - 3 x$ 。 $2 - x^{2} = 2 - 3 x$ から交点は $x = 0, 3$ となり、 $S = \frac{( 3 ) ^{3}}{6} = \frac{3}{2}$ 。確かに一致する。

答案で省略しない方がよい点

交点の $x$ 座標を根号で書き下す必要はない。6分の1公式に要るのは $(x_{2} - x_{1})^{2}$ だけ。
$\frac{1}{t}$ を変数に取り替えると、分数のままの式が2次関数になって平方完成できる。 $t$ のまま微分すると手間が増える。
$v > 1$ の範囲に頂点 $v = 2$ が入っていることを確かめる。入っていなければ端点で最小になる。

第1問だけのページ

第2問　空間図形

正四面体・対辺の距離・球面と線分・最大・最小の両側当サイトの体感難易度：難

条件をみたす $r$ の範囲を求める

答 $0 < r < \frac{2}{2}$ または $r > 1$

方針「球」ではなく「球面」なので、小さすぎても大きすぎても共有点をもたない。 $P$ から辺 $BC$ 上の点までの距離の最小と最大を両方押さえる必要がある。

$O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0), C (\frac{1}{2}, \frac{3}{6}, \frac{6}{3})$ と座標をとる（すべての辺の長さが $1$ になる）。

$P (s, 0, 0) (0 \leq s \leq 1)$ 、辺 $BC$ 上の点を $Q = B + w (C - B) (0 \leq w \leq 1)$ とすると、整理して

∣ PQ ∣^{2} = (s - \frac{1}{2})^{2} + (w - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}

$P$ を固定したときの最小距離 $d (s)$ と最大距離 $D (s)$ は

d (s)^{2} = (s - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}, D (s)^{2} = (s - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

球面が辺 $BC$ と共有点をもつのは $d (s) \leq r \leq D (s)$ のとき。 $z = (s - \frac{1}{2})^{2}$ は $0 \leq z \leq \frac{1}{4}$ を動くので、「ある $P$ で共有点をもつ」は

\exists z \in [0, \frac{1}{4}] : z + \frac{1}{2} \leq r^{2} \leq z + \frac{3}{4} ⟺ \frac{1}{2} \leq r^{2} \leq 1

求めるのはその否定だから $r^{2} < \frac{1}{2}$ または $r^{2} > 1$ 、すなわち $0 < r < \frac{2}{2}$ または $r > 1$ 。

検算

$\frac{2}{2}$ は正四面体の対辺の距離（ $OA$ と $BC$ の最短距離）で、 $1$ は辺の長さ。 $r = 1$ のときは $P = O$ とすると球面が $B$ を通ってしまう。境界の意味がはっきりしている。

答案で省略しない方がよい点

「球面」と「球」を取り違えない。球（中身入り）なら答えは $0 < r < \frac{2}{2}$ だけになる。 $r > 1$ が出てくるのは、球面が辺をまたいで外側に出てしまう場合があるから。
$P$ が端（ $O$ または $A$ ）にあるときに最大距離が $1$ になる。「どこにあっても」なので、いちばん厳しい $P$ で押さえる。

第2問だけのページ

第3問　整数

1次不定方程式・剰余類・表せない数の個数・フロベニウス数当サイトの体感難易度：やや難

(1) $2 p$ 以上の整数が $N = 3 m + p k$ と表せることを示す

答 $k \in {0, 1, 2}$ の中に $p k \equiv N (mod 3)$ をみたすものがあり、そのとき $N - p k \geq N - 2 p \geq 0$ が $3$ の倍数になる

方針 $k$ を $0, 1, 2$ に限って探す。 $p$ は $3$ の倍数でないので、 $0, p, 2 p$ は $mod 3$ ですべて異なる値をとり、3つの剰余類を覆う。

$p$ は $3$ より大きい素数なので $3 ∤ p$ 。よって $0, p, 2 p$ を $3$ で割った余りはすべて異なり、 ${0, 1, 2}$ を覆う。

したがって、どんな $N$ に対しても $p k \equiv N (mod 3)$ をみたす $k \in {0, 1, 2}$ がただ1つある。この $k$ について $N - p k$ は $3$ の倍数。

さらに $N \geq 2 p$ かつ $k \leq 2$ だから $N - p k \geq N - 2 p \geq 0$ 。よって $m = \frac{N - p k}{3}$ は $0$ 以上の整数で、 $N = 3 m + p k$ と表せる。

答案で省略しない方がよい点

$k$ を $0, 1, 2$ に絞るのが要点。 $k$ を大きくしてもよいが、 $N - p k \geq 0$ が崩れる。
$p > 3$ が効くのは「 $p$ が $3$ の倍数でない」という一点。 $p = 3$ だと $0, p, 2 p$ がすべて $mod 3$ で $0$ になり、覆えない。

(2) $N = 3 m + p k$ と表せない $0$ 以上の整数の個数を求める

答 $p - 1$ 個

方針 $3$ で割った余りごとに分けて数える。各剰余類の中で、表せる最小の数は $p k$ （ $k \in {0, 1, 2}$ ）で、それ未満がすべて表せない。

余り $r \in {0, 1, 2}$ の類を考える。(1) より $p k_{r} \equiv r (mod 3)$ となる $k_{r} \in {0, 1, 2}$ がただ1つある。

$N \geq p k_{r}$ かつ $N \equiv r$ なら、 $N - p k_{r}$ が $0$ 以上の $3$ の倍数なので表せる
$N < p k_{r}$ かつ $N \equiv r$ なら、 $k \leq k_{r}$ でないと $N - p k < 0$ 。しかも $k \equiv k_{r} (mod 3)$ が要るので $k = k_{r}$ しかなく、表せない

よって余り $r$ の類で表せないのは $r, r + 3, \dots, p k_{r} - 3$ の $\frac{p k _{r} - r}{3}$ 個。 $k_{r} = 0$ の類は $0$ 個。残り2つの類を足すと

\frac{p - ( p mod 3 )}{3} + \frac{2 p - ( 2 p mod 3 )}{3} = \frac{3 p - 3}{3} = p - 1

検算

$p = 5$ なら表せないのは $1, 2, 4, 7$ の $4 = p - 1$ 個。 $p = 7$ なら $1, 2, 4, 5, 8, 11$ の $6$ 個。全探索の結果と一致する。

答案で省略しない方がよい点

$0$ は $m = k = 0$ で表せる。 $0$ 以上の整数を数えるので、ここを落とさない。
表せない最大の数は $2 p - 3$ （ $p = 5$ なら $7$ ）。すべての類で $p k_{r}$ より下だけが表せないことを押さえると、個数が一気に出る。

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第4問　数列・対数

ガウス記号・区間ごとに同じ値・等比数列の和・シグマの計算当サイトの体感難易度：標準

(1) $a_{26}$ を求める

答 $a_{26} = 42$

方針 $[lo g_{3} k]$ は $k$ が $3$ のべきをまたぐところでしか変わらない。値が同じ区間ごとにまとめて数える。

$[lo g_{3} k] = j ⟺ 3^{j} \leq k < 3^{j + 1}$ なので

$k = 1, 2$ … 値は $0$ （ $2$ 個）
$k = 3, \dots, 8$ … 値は $1$ （ $6$ 個）
$k = 9, \dots, 26$ … 値は $2$ （ $18$ 個）

a_{26} = 0 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 18 = 42

答案で省略しない方がよい点

$26 = 3^{3} - 1$ なので、ちょうど値 $2$ の区間の右端で切れている。 $k = 27$ まで入れると値 $3$ が1つ加わってしまう。

(2) $m = 3^{N} - 1$ のとき $a_{m}$ を $N$ で表す

答 $a_{m} = \frac{( 2 N - 3 ) \cdot 3 ^{N} + 3}{2}$

方針(1) と同じ区切り方がそのまま使える。 $m = 3^{N} - 1$ は区間の右端なので、 $j = 0$ から $N - 1$ までがちょうど過不足なく入る。

$[lo g_{3} k] = j$ となる $k$ は $3^{j}$ 個から $3^{j + 1} - 1$ 個までの $3^{j + 1} - 3^{j} = 2 \cdot 3^{j}$ 個。 $k$ は $1$ から $3^{N} - 1$ までなので $j = 0, 1, \dots, N - 1$ がちょうど収まり

a_{m} = \sum_{j = 0}^{N - 1} j \cdot 2 \cdot 3^{j} = 2 \sum_{j = 0}^{N - 1} j \cdot 3^{j}

$T = j = 0 \sum N - 1 j \cdot 3^{j}$ とおき、 $3 T - T$ を作ると（等比数列の和に帰着する）

2 T = (N - 1) 3^{N} - \sum_{j = 1}^{N - 1} 3^{j} = (N - 1) 3^{N} - \frac{3 ^{N} - 3}{2}

よって $4 T = (2 N - 3) 3^{N} + 3$ となり、 $a_{m} = 2 T = \frac{( 2 N - 3 ) 3 ^{N} + 3}{2}$ 。

検算

$N = 3$ とすると $m = 26$ で、 $\frac{3 \cdot 27 + 3}{2} = 42$ 。(1) と一致する。 $N = 1$ なら $m = 2$ 、 $\frac{( - 1 ) \cdot 3 + 3}{2} = 0$ で、 $a_{2} = 0$ とも合う。

答案で省略しない方がよい点

$\sum j x^{j}$ は $3 T - T$ のずらし算で出す。公式を覚えていなくても作れる。
$j$ の範囲が $0$ から $N - 1$ であることを確かめる。 $m$ が区間の右端だから、ここがぴったり揃う。

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第5問　確率

最大値の分布・期待値・二項係数の恒等式・ホッケースティック和当サイトの体感難易度：やや難

$X$ の期待値を求める

答 $E [X] = \frac{3 ( n + 1 )}{4}$

方針 $X = x$ となるのは「 $x$ を引き、残り2枚を $x$ 未満から引く」とき。期待値の和に $x (2 x - 1) = 3 (3 x)$ という二項係数の書き換えを使うと、和が一気にたたまれる。

最大が $x$ になるのは、 $x$ を含み、残り2枚が $1, \dots, x - 1$ から選ばれるとき。よって

P (X = x) = \frac{( 2 x - 1 )}{( 3 n )} (x = 3, 4, \dots, n)

期待値の分子に現れる $x (2 x - 1)$ は

x (2 x - 1) = x \cdot \frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{2} = 3 \cdot \frac{x ( x - 1 ) ( x - 2 )}{6} = 3 (3 x)

$x = 3 \sum n (3 x) = (4 n + 1)$ （二項係数の和の公式）だから

E [X] = \frac{3 ( 4 n + 1 )}{( 3 n )} = 3 \cdot \frac{\frac{( n + 1 ) n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{24}}{\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}} = \frac{3 ( n + 1 )}{4}

検算

$n = 3$ なら引き方は1通りで $X = 3$ 、式も $\frac{3 \cdot 4}{4} = 3$ 。 $n = 4$ なら4通りで $\frac{3 + 4 + 4 + 4}{4} = \frac{15}{4}$ 、式も $\frac{3 \cdot 5}{4} = \frac{15}{4}$ 。