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名古屋工業大学　2024年度　前期日程　工学部

第2問数列の解答・解説

群数列・累積項数が平方数・等比数列の和・等差×等比の和当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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掲載ページ名「入学試験過去問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)第 $m$ 群に $2 m - 1$ 個の自然数が入り、第 $m$ 群の $k$ 番目が $m \cdot 2^{k - 1}$ である数列 ${a_{n}}$ について、 $a_{70}$ を求める

答 $a_{70} = 288$

第 $m$ 群までの項数の合計は $i = 1 \sum m (2 i - 1) = m^{2}$ 。

第 $m$ 群までの項数は

i = 1 \sum m (2 i - 1) = m^{2}

である。 $8^{2} = 64 < 70 ≦ 81 = 9^{2}$ なので、 $a_{70}$ は第9群にあり、群の中では

k = 70 - 64 = 6

番目である。よって

a_{70} = 9 \cdot 2^{6 - 1} = 9 \cdot 32 = 288

である。

実際に並べて70番目を取り出すと $288$ だった。

(2) $a_{n} = 24$ となる $n$ をすべて求める

答 $n = 8, 28, 123, 530$

$m \cdot 2^{k - 1} = 24$ となる自然数の組を並べ、各組が $k ≦ 2 m - 1$ を満たすか確かめる。

$m \cdot 2^{k - 1} = 24$ となる自然数の組は

$k = 1$ … $m = 24$ 。 $k ≦ 2 m - 1 = 47$ ✓。 $n = 2 3^{2} + 1 = 530$
$k = 2$ … $m = 12$ 。 $k ≦ 23$ ✓。 $n = 1 1^{2} + 2 = 123$
$k = 3$ … $m = 6$ 。 $k ≦ 11$ ✓。 $n = 5^{2} + 3 = 28$
$k = 4$ … $m = 3$ 。 $k ≦ 5$ ✓。 $n = 2^{2} + 4 = 8$
$k = 5$ … $m = \frac{24}{16}$ は自然数でない
$k ≧ 6$ … $2^{k - 1} ≧ 32 > 24$ で不適

である（ $n$ は第 $m$ 群の手前までの項数 $(m - 1)^{2}$ に $k$ を足したもの）。よって

n = 8, 28, 123, 530

の4つである。

実際に並べて $24$ の出る位置を調べると $8, 28, 123, 530$ だった。

第 $m$ 群の項数は $2 m - 1$ なので、 $k ≦ 2 m - 1$ を必ず確かめる。 $m$ が小さいと $k$ が入りきらないことがある。

(3)第 $m$ 群のすべての自然数の和 $T_{m}$ を $m$ で表す

答 $T_{m} = m (2^{2 m - 1} - 1)$

第 $m$ 群は初項 $m$ 、公比 $2$ 、項数 $2 m - 1$ の等比数列。

T_{m} = k = 1 \sum 2 m - 1 m \cdot 2^{k - 1} = m \cdot \frac{2 ^{2 m - 1} - 1}{2 - 1} = m (2^{2 m - 1} - 1)

である（ $m = 1, 2, 3$ で $1, 14, 93$ となり、 $1$ 、 $2 + 4 + 8$ 、 $3 + 6 + 12 + 24 + 48$ と合う）。

$m = 1, \dots, 11$ で、直接の和と式が一致した。

(4) $S_{m} = i = 1 \sum m T_{i}$ を $m$ で表す

答 $S_{m} = \frac{2}{9} {(3 m - 1) 4^{m} + 1} - \frac{m ( m + 1 )}{2}$

$T_{i} = i \cdot 2^{2 i - 1} - i = \frac{1}{2} i \cdot 4^{i} - i$ 。 $\sum i \cdot 4^{i}$ は4倍してずらす。

$2^{2 i - 1} = \frac{4 ^{i}}{2}$ なので $T_{i} = \frac{1}{2} i \cdot 4^{i} - i$ である。 $U = i = 1 \sum m i \cdot 4^{i}$ とおくと

U = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^{2} + \dots + m \cdot 4^{m}

4 U = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4^{2} + \dots + (m - 1) 4^{m} + m \cdot 4^{m + 1}

で、辺々引くと

- 3 U = 4 + 4^{2} + \dots + 4^{m} - m \cdot 4^{m + 1} = \frac{4 ( 4 ^{m} - 1 )}{3} - m \cdot 4^{m + 1}

である。よって

U = \frac{m \cdot 4 ^{m + 1}}{3} - \frac{4 ( 4 ^{m} - 1 )}{9} = \frac{12 m \cdot 4 ^{m} - 4 \cdot 4 ^{m} + 4}{9} = \frac{4 { ( 3 m - 1 ) 4 ^{m} + 1 }}{9}

であり

S_{m} = \frac{1}{2} U - i = 1 \sum m i = \frac{2}{9} {(3 m - 1) 4^{m} + 1} - \frac{m ( m + 1 )}{2}

である（ $m = 1, 2, 3$ で $1, 15, 108$ となり、 $T_{1} = 1$ 、 $T_{1} + T_{2} = 15$ 、 $+ 93 = 108$ と合う）。

$m = 1, \dots, 11$ で、直接の和と式が一致した。

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問題文について

(1)第 m 群に 2m−1 個の自然数が入り、第 m 群の k 番目が m⋅2k−1 である数列 {an​} について、a70​ を求める

(2)an​=24 となる n をすべて求める

(3)第 m 群のすべての自然数の和 Tm​ を m で表す

(4)Sm​=i=1∑m​Ti​ を m で表す