独自の解答・詳解
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全4問・無料

名古屋工業大学　2024年度　前期日程　工学部

名工大 2024年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は名古屋工業大学が公開しています。

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掲載ページ名「入学試験過去問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　微分積分

部分積分・増減と最小値・変曲点・直交する接線の本数・面積当サイトの体感難易度：標準

(1) $f (x) = x lo g x$ （ $x > 0$ ）について、不定積分 $\int f (x) d x$ を求める

答 $\frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 lo g x - 2) + C$

$lo g x$ を微分する側にして部分積分。

$(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})^{'} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、部分積分して

\int x^{\frac{1}{2}} lo g x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x

である。 $\int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ だから

\int f (x) d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 lo g x - 2) + C

である。

$\frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 lo g x - 2)$ を数値微分すると $x lo g x$ と一致した。

(2) $f (x)$ の最小値を求める

答 $x = e^{- 2}$ のとき最小値 $- \frac{2}{e}$

$f^{'} (x) = \frac{lo g x + 2}{2 x}$ 。符号は分子だけで決まる。

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} lo g x + x \cdot \frac{1}{x} = \frac{lo g x + 2}{2 x}

である。 $2 x > 0$ なので符号は $lo g x + 2$ で決まり、 $0 < x < e^{- 2}$ で負、 $x > e^{- 2}$ で正である。よって $x = e^{- 2}$ で最小になり

f (e^{- 2}) = e^{- 1} \cdot (- 2) = - \frac{2}{e}

が最小値である。

$f (e^{- 2}) = - 0.7357589$ で、 $- \frac{2}{e} = - 0.7357589$ と一致した。

(3)曲線 $C : y = f (x)$ の変曲点の座標を求める

答 $(1, 0)$

$f^{''}$ の符号が変わるところを探す。

$f^{'} (x) = \frac{1}{2} (lo g x + 2) x^{- \frac{1}{2}}$ をもう一度微分すると

f^{''} (x) = \frac{1}{2} {\frac{1}{x} \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} (lo g x + 2) x^{- \frac{3}{2}}} = \frac{x ^{- \frac{3}{2}}}{4} {2 - (lo g x + 2)} = - \frac{lo g x}{4 x ^{\frac{3}{2}}}

である。 $4 x^{\frac{3}{2}} > 0$ なので符号は $- lo g x$ で決まり、 $0 < x < 1$ で正（下に凸）、 $x > 1$ で負（上に凸）である。 $x = 1$ の前後で凹凸が変わるので変曲点は

(1, f (1)) = (1, 0)

である。

$f^{''} (0.5) = 0.4901 > 0$ 、 $f^{''} (2) = - 0.0613 < 0$ で、 $x = 1$ の前後で符号が変わった。

(4)点 $(1, 0)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $C$ の接線で $ℓ$ と直交するものが何本あるか答える

答 $1$ 本

$ℓ$ の傾きは $1$ なので、傾き $- 1$ の接線を探す。接点の方程式の解の個数を数える。

$f^{'} (1) = \frac{0 + 2}{2} = 1$ なので $ℓ$ の傾きは $1$ である。これと直交する接線の傾きは $- 1$ だから、接点 $t$ は

\frac{lo g t + 2}{2 t} = - 1, lo g t + 2 t + 2 = 0

を満たす。 $g (t) = lo g t + 2 t + 2$ （ $t > 0$ ）とおくと

g^{'} (t) = \frac{1}{t} + \frac{1}{t} > 0

なので $g$ は $t > 0$ で単調に増加する。 $t \to + 0$ で $g \to - \infty$ 、 $t \to \infty$ で $g \to \infty$ だから、 $g (t) = 0$ の解はただ1つである。接点が1つなら接線も1本なので、答えは1本である。

$g (e^{- 2}) = - 2 + 2 e^{- 1} + 2 = \frac{2}{e} > 0$ 、 $g (e^{- 4}) = - 4 + 2 e^{- 2} + 2 = - 2 + \frac{2}{e ^{2}} < 0$ なので、解は $e^{- 4} < t < e^{- 2}$ の間にある（数値では $t = 0.0775$ ）。

$lo g t + 2 t + 2 = 0$ を二分法で解くと $t = 0.0775425$ の1つだけで、そこでの $f^{'}$ は $- 1$ だった。

解を具体的に求める必要はない。単調性と極限から「ちょうど1つ」と言えればよい。

(5)曲線 $C$ 、 $x$ 軸の $x ≧ 1$ の部分、および直線 $x = e^{2}$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{8 e ^{3} + 4}{9}$

$x ≧ 1$ では $f ≧ 0$ なので、そのまま積分すればよい。(1) の原始関数を使う。

$f (x) = x lo g x$ は $x ≧ 1$ で $0$ 以上（ $x = 1$ でのみ $0$ ）なので

S = \int_{1}^{e^{2}} x lo g x d x = [\frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 lo g x - 2)]_{1}^{e^{2}}

である。 $x = e^{2}$ では $x^{\frac{3}{2}} = e^{3}$ 、 $lo g x = 2$ なので

\frac{2}{9} e^{3} (6 - 2) = \frac{8}{9} e^{3}

で、 $x = 1$ では $\frac{2}{9} (0 - 2) = - \frac{4}{9}$ である。よって

S = \frac{8}{9} e^{3} + \frac{4}{9} = \frac{8 e ^{3} + 4}{9}

である（ $18.29 \dots$ ）。

y = √x log x のグラフ。x = e の −2 乗で最小値 −2/e、x = 1 で x 軸と交わり同時に変曲点になる。塗った部分が x = 1 から x = e² までの面積。

数値積分すると $18.2982550$ で、 $\frac{8 e ^{3} + 4}{9} = 18.2982550$ と一致した。

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第2問　数列

群数列・累積項数が平方数・等比数列の和・等差×等比の和当サイトの体感難易度：標準

(1)第 $m$ 群に $2 m - 1$ 個の自然数が入り、第 $m$ 群の $k$ 番目が $m \cdot 2^{k - 1}$ である数列 ${a_{n}}$ について、 $a_{70}$ を求める

答 $a_{70} = 288$

第 $m$ 群までの項数の合計は $i = 1 \sum m (2 i - 1) = m^{2}$ 。

第 $m$ 群までの項数は

i = 1 \sum m (2 i - 1) = m^{2}

である。 $8^{2} = 64 < 70 ≦ 81 = 9^{2}$ なので、 $a_{70}$ は第9群にあり、群の中では

k = 70 - 64 = 6

番目である。よって

a_{70} = 9 \cdot 2^{6 - 1} = 9 \cdot 32 = 288

である。

実際に並べて70番目を取り出すと $288$ だった。

(2) $a_{n} = 24$ となる $n$ をすべて求める

答 $n = 8, 28, 123, 530$

$m \cdot 2^{k - 1} = 24$ となる自然数の組を並べ、各組が $k ≦ 2 m - 1$ を満たすか確かめる。

$m \cdot 2^{k - 1} = 24$ となる自然数の組は

$k = 1$ … $m = 24$ 。 $k ≦ 2 m - 1 = 47$ ✓。 $n = 2 3^{2} + 1 = 530$
$k = 2$ … $m = 12$ 。 $k ≦ 23$ ✓。 $n = 1 1^{2} + 2 = 123$
$k = 3$ … $m = 6$ 。 $k ≦ 11$ ✓。 $n = 5^{2} + 3 = 28$
$k = 4$ … $m = 3$ 。 $k ≦ 5$ ✓。 $n = 2^{2} + 4 = 8$
$k = 5$ … $m = \frac{24}{16}$ は自然数でない
$k ≧ 6$ … $2^{k - 1} ≧ 32 > 24$ で不適

である（ $n$ は第 $m$ 群の手前までの項数 $(m - 1)^{2}$ に $k$ を足したもの）。よって

n = 8, 28, 123, 530

の4つである。

実際に並べて $24$ の出る位置を調べると $8, 28, 123, 530$ だった。

第 $m$ 群の項数は $2 m - 1$ なので、 $k ≦ 2 m - 1$ を必ず確かめる。 $m$ が小さいと $k$ が入りきらないことがある。

(3)第 $m$ 群のすべての自然数の和 $T_{m}$ を $m$ で表す

答 $T_{m} = m (2^{2 m - 1} - 1)$

第 $m$ 群は初項 $m$ 、公比 $2$ 、項数 $2 m - 1$ の等比数列。

T_{m} = k = 1 \sum 2 m - 1 m \cdot 2^{k - 1} = m \cdot \frac{2 ^{2 m - 1} - 1}{2 - 1} = m (2^{2 m - 1} - 1)

である（ $m = 1, 2, 3$ で $1, 14, 93$ となり、 $1$ 、 $2 + 4 + 8$ 、 $3 + 6 + 12 + 24 + 48$ と合う）。

$m = 1, \dots, 11$ で、直接の和と式が一致した。

(4) $S_{m} = i = 1 \sum m T_{i}$ を $m$ で表す

答 $S_{m} = \frac{2}{9} {(3 m - 1) 4^{m} + 1} - \frac{m ( m + 1 )}{2}$

$T_{i} = i \cdot 2^{2 i - 1} - i = \frac{1}{2} i \cdot 4^{i} - i$ 。 $\sum i \cdot 4^{i}$ は4倍してずらす。

$2^{2 i - 1} = \frac{4 ^{i}}{2}$ なので $T_{i} = \frac{1}{2} i \cdot 4^{i} - i$ である。 $U = i = 1 \sum m i \cdot 4^{i}$ とおくと

U = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 4^{2} + \dots + m \cdot 4^{m}

4 U = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4^{2} + \dots + (m - 1) 4^{m} + m \cdot 4^{m + 1}

で、辺々引くと

- 3 U = 4 + 4^{2} + \dots + 4^{m} - m \cdot 4^{m + 1} = \frac{4 ( 4 ^{m} - 1 )}{3} - m \cdot 4^{m + 1}

である。よって

U = \frac{m \cdot 4 ^{m + 1}}{3} - \frac{4 ( 4 ^{m} - 1 )}{9} = \frac{12 m \cdot 4 ^{m} - 4 \cdot 4 ^{m} + 4}{9} = \frac{4 { ( 3 m - 1 ) 4 ^{m} + 1 }}{9}

であり

S_{m} = \frac{1}{2} U - i = 1 \sum m i = \frac{2}{9} {(3 m - 1) 4^{m} + 1} - \frac{m ( m + 1 )}{2}

である（ $m = 1, 2, 3$ で $1, 15, 108$ となり、 $T_{1} = 1$ 、 $T_{1} + T_{2} = 15$ 、 $+ 93 = 108$ と合う）。

$m = 1, \dots, 11$ で、直接の和と式が一致した。

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第3問　媒介変数表示・積分法

媒介変数の微分・接線が切り取る長さが一定・曲線の長さ・y で積分する面積当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x (θ) = cos θ + lo g (tan \frac{θ}{2})$ 、 $y (θ) = sin θ$ （ $0 < θ ≦ \frac{π}{2}$ ）で定まる曲線 $C$ について、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ で $\frac{d x}{d θ} > 0$ を示す

答 $\frac{d x}{d θ} = \frac{cos ^{2} θ}{sin θ} > 0$

${lo g tan \frac{θ}{2}}^{'} = \frac{1}{sin θ}$ が効く。2倍角でまとめる。

$(tan \frac{θ}{2})^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ^{2} \frac{θ}{2}}$ なので

{lo g tan \frac{θ}{2}}^{'} = \frac{1}{tan \frac{θ}{2}} \cdot \frac{1}{2 cos ^{2} \frac{θ}{2}} = \frac{1}{2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}} = \frac{1}{sin θ}

である（2倍角 $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$ ）。よって

\frac{d x}{d θ} = - sin θ + \frac{1}{sin θ} = \frac{1 - sin ^{2} θ}{sin θ} = \frac{cos ^{2} θ}{sin θ}

である。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ では $cos θ \neq = 0$ より $cos^{2} θ > 0$ 、 $sin θ > 0$ なので $\frac{d x}{d θ} > 0$ である。

$θ = 0.2, 0.8, 1.5$ で数値微分すると、 $\frac{cos ^{2} θ}{sin θ}$ と小数7桁まで一致した。

(2) $C$ 上の点 $P$ における接線と $x$ 軸との交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さが $θ$ によらず一定であることを示す（ $P$ は $(0, 1)$ とは異なるとする）

答 $PQ = 1$ （一定）

$\frac{d y}{d x} = tan θ$ になる。 $Q$ の座標を出せば、 $PQ$ の成分がちょうど $(cos θ, sin θ)$ の大きさになる。

$\frac{d y}{d θ} = cos θ$ と (1) より、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ で

\frac{d y}{d x} = \frac{cos θ}{\frac{c o s ^{2} θ}{s i n θ}} = \frac{sin θ}{cos θ} = tan θ

である（ $θ = \frac{π}{2}$ のとき $P = (0, 1)$ で接線は縦になり、 $x$ 軸と交わらない。だから除いてある）。

$P = (x (θ), sin θ)$ での接線は $y - sin θ = tan θ (X - x (θ))$ で、 $y = 0$ とすると

X - x (θ) = - \frac{sin θ}{tan θ} = - cos θ

なので $Q = (x (θ) - cos θ, 0)$ である。したがって

PQ = cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1

で、 $θ$ によらず一定である。

曲線 C と、その上の点 P における接線。接線が x 軸と交わる点を Q とすると、PQ の長さはどの P でも 1 になる。曲線は左へ伸びて x 軸に近づき、θ = π/2 では点 (0, 1) に達する。

「引いた接線が $x$ 軸から切り取る長さが一定」という性質をもつ曲線で、トラクトリックス（追跡線）と呼ばれる。長さ $1$ のひもの一端を $x$ 軸に沿って引いたときに、もう一端が描く線である。

$θ = 0.3, 0.9, 1.4$ で接線の傾きが $tan θ$ になり、 $PQ = 1.000000000000$ だった。

(3)曲線 $C$ の $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の部分の長さ $L$ を求める

答 $L = lo g 2$

$(\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2}$ がきれいに $\frac{cos ^{2} θ}{sin ^{2} θ}$ になる。

(\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} = \frac{cos ^{4} θ}{sin ^{2} θ} + cos^{2} θ = cos^{2} θ \cdot \frac{cos ^{2} θ + sin ^{2} θ}{sin ^{2} θ} = \frac{cos ^{2} θ}{sin ^{2} θ}

である。 $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $cos θ ≧ 0$ 、 $sin θ > 0$ なので、根号をはずすと $\frac{cos θ}{sin θ}$ である。よって

L = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{cos θ}{sin θ} d θ = [lo g sin θ]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = lo g 1 - lo g \frac{1}{2} = lo g 2

である。

数値積分すると $0.6931472$ で、 $lo g 2 = 0.6931472$ と一致した。

(4)曲線 $C$ 、直線 $y = \frac{3}{2}$ 、および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{π}{12} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4} lo g 3$

この部分では $x ≦ 0$ なので、 $y$ について $- x$ を積分する。 $y = sin θ$ で置換する。

$y = \frac{3}{2}$ となるのは $sin θ = \frac{3}{2}$ 、 $0 < θ ≦ \frac{π}{2}$ より $θ = \frac{π}{3}$ である。 $θ = \frac{π}{2}$ では $x = 0 + lo g tan \frac{π}{4} = 0$ 、 $y = 1$ なので、曲線は $y$ 軸上の点 $(0, 1)$ に達する。

(1) より $x$ は $θ$ について増加するので、 $\frac{π}{3} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $x ≦ 0$ である。したがって求める図形は、 $\frac{3}{2} ≦ y ≦ 1$ で曲線と $y$ 軸にはさまれた部分で

S = \int_{\frac{3}{2}}^{1} (0 - x) d y = - \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x (θ) cos θ d θ

である（ $y = sin θ$ 、 $d y = cos θ d θ$ ）。2つに分ける。

\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ = [\frac{θ}{2} + \frac{sin 2 θ}{4}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4} - (\frac{π}{6} + \frac{3}{8}) = \frac{π}{12} - \frac{3}{8}

もう一方は部分積分する。 ${lo g tan \frac{θ}{2}}^{'} = \frac{1}{sin θ}$ （(1) で示した）なので

\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} cos θ lo g tan \frac{θ}{2} d θ = [sin θ lo g tan \frac{θ}{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} sin θ \cdot \frac{1}{sin θ} d θ

である。 $θ = \frac{π}{2}$ では $lo g tan \frac{π}{4} = 0$ 、 $θ = \frac{π}{3}$ では $sin \frac{π}{3} lo g tan \frac{π}{6} = \frac{3}{2} lo g \frac{1}{3} = - \frac{3}{4} lo g 3$ なので

= \frac{3}{4} lo g 3 - (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{3}{4} lo g 3 - \frac{π}{6}

である。したがって

S = - (\frac{π}{12} - \frac{3}{8}) - (\frac{3}{4} lo g 3 - \frac{π}{6}) = \frac{π}{12} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4} lo g 3

である（ $0.00259 \dots$ とごく小さい）。

数値積分すると $0.0025927$ で、 $\frac{π}{12} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4} lo g 3 = 0.0025927$ と一致した。

この区間で $x$ は負なので、 $y$ 軸までの横幅は $- x$ である。符号を落とすと答えが負になる。

$lo g tan \frac{π}{6} = lo g \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} lo g 3$ である。

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第4問　空間ベクトル

内分点と重心・辺の長さから内積・展開図と円に内接する四角形・2次関数の最小当サイトの体感難易度：難

(1)四面体 $OABC$ で $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ とする。辺 $AB$ を $1 : 2$ に内分する点を $D$ 、辺 $OA$ を $1 - t : t$ に内分する点を $P$ 、辺 $OB$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $Q$ 、三角形 $CPQ$ の重心を $G$ とするとき、 $OD, OG$ を表す

答 $OD = \frac{2 a + b}{3}$ 、 $OG = \frac{( 1 - t ) a + t b + c}{3}$

内分点と重心の公式をそのまま使う。

$AD : DB = 1 : 2$ なので

OD = \frac{2 a + 1 \cdot b}{1 + 2} = \frac{2 a + b}{3}

である。 $OP : PA = 1 - t : t$ より $OP = (1 - t) a$ 、 $OQ : QB = t : 1 - t$ より $OQ = t b$ である。三角形 $CPQ$ の重心だから

OG = \frac{c + ( 1 - t ) a + t b}{3}

である。

$t = 0$ で $P = A$ 、 $Q = O$ 、 $t = 1$ で $P = O$ 、 $Q = B$ になり、内分の向きと合っている。

(2) $OA = 2$ 、 $OB = 3$ 、 $OC = 14$ 、 $AB = 7$ 、 $BC = 32$ のとき、 $a \cdot b$ および $b \cdot c$ を求める

答 $a \cdot b = 3$ 、 $b \cdot c = \frac{5}{2}$

$b - a^{2} = ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + b^{2}$ を使うだけ。

AB^{2} = b - a^{2} = 4 - 2 a \cdot b + 9 = 7 ⟹ a \cdot b = 3

BC^{2} = c - b^{2} = 9 - 2 b \cdot c + 14 = 18 ⟹ b \cdot c = \frac{5}{2}

である。

この値で $AB = 7$ 、 $BC = 32$ が再現した。

(3)四面体を辺 $OA, OB, OC$ で切り開いた展開図を平面 $ABC$ 上に描き、三角形 $OAC$ に対応する三角形を $O^{'} AC$ とすると、四角形 $O^{'} ABC$ は円に内接する。このとき $c \cdot a$ を求める

答 $c \cdot a = - \frac{7}{5}$

$△ O^{'} AC$ は $△ OAC$ と合同なので $∠ AO^{'} C = ∠ AOC$ 。円に内接する四角形では向かい合う角の和が $π$ 。

四角形 $O^{'} ABC$ で $O^{'}$ と $B$ は向かい合う頂点なので、円に内接する条件は

∠ AO^{'} C + ∠ ABC = π

である。 $△ O^{'} AC$ は折り出す前の $△ OAC$ と合同だから $∠ AO^{'} C = ∠ AOC$ で、条件は

cos ∠ AOC = - cos ∠ ABC

と書ける。 $k = c \cdot a$ とおく。左辺は

cos ∠ AOC = \frac{a \cdot c}{∣ a ∣ ∣ c ∣} = \frac{k}{2 14}

である。右辺は、 $BA = a - b$ 、 $BC = c - b$ として

BA \cdot BC = a \cdot c - a \cdot b - b \cdot c + b^{2} = k - 3 - \frac{5}{2} + 9 = k + \frac{7}{2}

で、 $BA = 7$ 、 $BC = 32$ だから

cos ∠ ABC = \frac{k + \frac{7}{2}}{7 \cdot 3 2} = \frac{k + \frac{7}{2}}{3 14}

である。条件に入れて両辺を $14$ 倍すると

\frac{k}{2} = - \frac{k + \frac{7}{2}}{3}, 3 k = - 2 k - 7, k = - \frac{7}{5}

である。

$AC^{2} = ∣ c - a ∣^{2} = 4 + 14 - 2 (- \frac{7}{5}) = \frac{104}{5}$ で、 $AC = \frac{2 130}{5} = 4.56 \dots$ である。

この内積で座標を作り、平面 $ABC$ 上に $△ OAC$ を折り出すと、 $O^{'}$ は $△ ABC$ の外接円上にちょうど乗った（中心からの距離と半径がどちらも $2.3213360$ ）。

「 $O^{'}$ と $B$ が向かい合う」ことを押さえる。四角形 $O^{'} ABC$ の並びから決まる。

折り出しても三角形は合同なので、 $∠ AO^{'} C$ は四面体の $∠ AOC$ と同じ。ここが展開図を使う意味である。

(4) $DG$ を最小にする $t$ の値を求める

答 $t = \frac{11}{70}$

$DG$ を $a, b, c$ で表し、 $DG^{2}$ を $t$ の2次関数にする。

(1) より

DG = OG - OD = \frac{( 1 - t ) a + t b + c - 2 a - b}{3} = \frac{- ( 1 + t ) a + ( t - 1 ) b + c}{3}

である。 $∣ a ∣^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 9$ 、 $∣ c ∣^{2} = 14$ 、 $a \cdot b = 3$ 、 $b \cdot c = \frac{5}{2}$ 、 $c \cdot a = - \frac{7}{5}$ を使って、分子の大きさの2乗を計算する。

4 (1 + t)^{2} + 9 (t - 1)^{2} + 14 - 6 (1 + t) (t - 1) + 5 (t - 1) + \frac{14}{5} (1 + t)

である（交差項の符号は、 $a$ の係数が $- (1 + t)$ 、 $b$ の係数が $t - 1$ 、 $c$ の係数が $1$ であることから決まる）。展開すると

$t^{2}$ の係数 … $4 + 9 - 6 = 7$
$t$ の係数 … $8 - 18 + 5 + \frac{14}{5} = - \frac{11}{5}$
定数項 … $4 + 9 + 14 + 6 - 5 + \frac{14}{5} = \frac{154}{5}$

なので

9 DG^{2} = 7 t^{2} - \frac{11}{5} t + \frac{154}{5}

である。 $t^{2}$ の係数が正なので、これを最小にする $t$ は

t = \frac{\frac{11}{5}}{2 \cdot 7} = \frac{11}{70}

である（ $0 < \frac{11}{70} < 1$ なので、 $P, Q$ は辺の内部にあり条件を満たす）。

$t$ を $0.00001$ 刻みで走査して $DG$ を計算すると、最小は $t = 0.15714$ で $\frac{11}{70} = 0.1571429$ と一致した。

$DG$ そのものではなく $DG^{2}$ を最小にすればよい（ $DG ≧ 0$ だから同じ $t$ で最小になる）。

第4問だけのページ

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問題文について

(1)f(x)=x​logx（x>0）について、不定積分 ∫f(x)dx を求める

(2)f(x) の最小値を求める

(3)曲線 C:y=f(x) の変曲点の座標を求める

(4)点 (1,0) における C の接線を ℓ とする。C の接線で ℓ と直交するものが何本あるか答える

(5)曲線 C、x 軸の x≧1 の部分、および直線 x=e2 で囲まれる図形の面積 S を求める

(1)第 m 群に 2m−1 個の自然数が入り、第 m 群の k 番目が m⋅2k−1 である数列 {an​} について、a70​ を求める

(2)an​=24 となる n をすべて求める

(3)第 m 群のすべての自然数の和 Tm​ を m で表す

(4)Sm​=i=1∑m​Ti​ を m で表す

(1)x(θ)=cosθ+log(tan2θ​)、y(θ)=sinθ（0<θ≦2π​）で定まる曲線 C について、0<θ<2π​ で dθdx​>0 を示す

(2)C 上の点 P における接線と x 軸との交点を Q とするとき、線分 PQ の長さが θ によらず一定であることを示す（P は (0,1) とは異なるとする）

(3)曲線 C の 6π​≦θ≦2π​ の部分の長さ L を求める

(4)曲線 C、直線 y=23​​、および y 軸で囲まれる図形の面積 S を求める

(1)四面体 OABC で OA=a、OB=b、OC=c とする。辺 AB を 1:2 に内分する点を D、辺 OA を 1−t:t に内分する点を P、辺 OB を t:1−t に内分する点を Q、三角形 CPQ の重心を G とするとき、OD,OG を表す

(2)OA=2、OB=3、OC=14​、AB=7​、BC=32​ のとき、a⋅b および b⋅c を求める

(3)四面体を辺 OA,OB,OC で切り開いた展開図を平面 ABC 上に描き、三角形 OAC に対応する三角形を O′AC とすると、四角形 O′ABC は円に内接する。このとき c⋅a を求める

(4)DG を最小にする t の値を求める

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(1) $f (x) = x lo g x$ （ $x > 0$ ）について、不定積分 $\int f (x) d x$ を求める

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(4)点 $(1, 0)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $C$ の接線で $ℓ$ と直交するものが何本あるか答える

(5)曲線 $C$ 、 $x$ 軸の $x ≧ 1$ の部分、および直線 $x = e^{2}$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

(1)第 $m$ 群に $2 m - 1$ 個の自然数が入り、第 $m$ 群の $k$ 番目が $m \cdot 2^{k - 1}$ である数列 ${a_{n}}$ について、 $a_{70}$ を求める

(2) $a_{n} = 24$ となる $n$ をすべて求める

(3)第 $m$ 群のすべての自然数の和 $T_{m}$ を $m$ で表す

(4) $S_{m} = i = 1 \sum m T_{i}$ を $m$ で表す

(1) $x (θ) = cos θ + lo g (tan \frac{θ}{2})$ 、 $y (θ) = sin θ$ （ $0 < θ ≦ \frac{π}{2}$ ）で定まる曲線 $C$ について、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ で $\frac{d x}{d θ} > 0$ を示す

(2) $C$ 上の点 $P$ における接線と $x$ 軸との交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さが $θ$ によらず一定であることを示す（ $P$ は $(0, 1)$ とは異なるとする）

(3)曲線 $C$ の $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の部分の長さ $L$ を求める

(4)曲線 $C$ 、直線 $y = \frac{3}{2}$ 、および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

(1)四面体 $OABC$ で $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ とする。辺 $AB$ を $1 : 2$ に内分する点を $D$ 、辺 $OA$ を $1 - t : t$ に内分する点を $P$ 、辺 $OB$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $Q$ 、三角形 $CPQ$ の重心を $G$ とするとき、 $OD, OG$ を表す

(2) $OA = 2$ 、 $OB = 3$ 、 $OC = 14$ 、 $AB = 7$ 、 $BC = 32$ のとき、 $a \cdot b$ および $b \cdot c$ を求める

(3)四面体を辺 $OA, OB, OC$ で切り開いた展開図を平面 $ABC$ 上に描き、三角形 $OAC$ に対応する三角形を $O^{'} AC$ とすると、四角形 $O^{'} ABC$ は円に内接する。このとき $c \cdot a$ を求める

(4) $DG$ を最小にする $t$ の値を求める