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名古屋工業大学　2024年度　前期日程　工学部

第4問空間ベクトルの解答・解説

内分点と重心・辺の長さから内積・展開図と円に内接する四角形・2次関数の最小当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は名古屋工業大学が公開しています。

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掲載ページ名「入学試験過去問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1)四面体 $OABC$ で $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ とする。辺 $AB$ を $1 : 2$ に内分する点を $D$ 、辺 $OA$ を $1 - t : t$ に内分する点を $P$ 、辺 $OB$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $Q$ 、三角形 $CPQ$ の重心を $G$ とするとき、 $OD, OG$ を表す

答 $OD = \frac{2 a + b}{3}$ 、 $OG = \frac{( 1 - t ) a + t b + c}{3}$

内分点と重心の公式をそのまま使う。

$AD : DB = 1 : 2$ なので

OD = \frac{2 a + 1 \cdot b}{1 + 2} = \frac{2 a + b}{3}

である。 $OP : PA = 1 - t : t$ より $OP = (1 - t) a$ 、 $OQ : QB = t : 1 - t$ より $OQ = t b$ である。三角形 $CPQ$ の重心だから

OG = \frac{c + ( 1 - t ) a + t b}{3}

である。

$t = 0$ で $P = A$ 、 $Q = O$ 、 $t = 1$ で $P = O$ 、 $Q = B$ になり、内分の向きと合っている。

(2) $OA = 2$ 、 $OB = 3$ 、 $OC = 14$ 、 $AB = 7$ 、 $BC = 32$ のとき、 $a \cdot b$ および $b \cdot c$ を求める

答 $a \cdot b = 3$ 、 $b \cdot c = \frac{5}{2}$

$b - a^{2} = ∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + b^{2}$ を使うだけ。

AB^{2} = b - a^{2} = 4 - 2 a \cdot b + 9 = 7 ⟹ a \cdot b = 3

BC^{2} = c - b^{2} = 9 - 2 b \cdot c + 14 = 18 ⟹ b \cdot c = \frac{5}{2}

である。

この値で $AB = 7$ 、 $BC = 32$ が再現した。

(3)四面体を辺 $OA, OB, OC$ で切り開いた展開図を平面 $ABC$ 上に描き、三角形 $OAC$ に対応する三角形を $O^{'} AC$ とすると、四角形 $O^{'} ABC$ は円に内接する。このとき $c \cdot a$ を求める

答 $c \cdot a = - \frac{7}{5}$

$△ O^{'} AC$ は $△ OAC$ と合同なので $∠ AO^{'} C = ∠ AOC$ 。円に内接する四角形では向かい合う角の和が $π$ 。

四角形 $O^{'} ABC$ で $O^{'}$ と $B$ は向かい合う頂点なので、円に内接する条件は

∠ AO^{'} C + ∠ ABC = π

である。 $△ O^{'} AC$ は折り出す前の $△ OAC$ と合同だから $∠ AO^{'} C = ∠ AOC$ で、条件は

cos ∠ AOC = - cos ∠ ABC

と書ける。 $k = c \cdot a$ とおく。左辺は

cos ∠ AOC = \frac{a \cdot c}{∣ a ∣ ∣ c ∣} = \frac{k}{2 14}

である。右辺は、 $BA = a - b$ 、 $BC = c - b$ として

BA \cdot BC = a \cdot c - a \cdot b - b \cdot c + b^{2} = k - 3 - \frac{5}{2} + 9 = k + \frac{7}{2}

で、 $BA = 7$ 、 $BC = 32$ だから

cos ∠ ABC = \frac{k + \frac{7}{2}}{7 \cdot 3 2} = \frac{k + \frac{7}{2}}{3 14}

である。条件に入れて両辺を $14$ 倍すると

\frac{k}{2} = - \frac{k + \frac{7}{2}}{3}, 3 k = - 2 k - 7, k = - \frac{7}{5}

である。

$AC^{2} = ∣ c - a ∣^{2} = 4 + 14 - 2 (- \frac{7}{5}) = \frac{104}{5}$ で、 $AC = \frac{2 130}{5} = 4.56 \dots$ である。

この内積で座標を作り、平面 $ABC$ 上に $△ OAC$ を折り出すと、 $O^{'}$ は $△ ABC$ の外接円上にちょうど乗った（中心からの距離と半径がどちらも $2.3213360$ ）。

「 $O^{'}$ と $B$ が向かい合う」ことを押さえる。四角形 $O^{'} ABC$ の並びから決まる。

折り出しても三角形は合同なので、 $∠ AO^{'} C$ は四面体の $∠ AOC$ と同じ。ここが展開図を使う意味である。

(4) $DG$ を最小にする $t$ の値を求める

答 $t = \frac{11}{70}$

$DG$ を $a, b, c$ で表し、 $DG^{2}$ を $t$ の2次関数にする。

(1) より

DG = OG - OD = \frac{( 1 - t ) a + t b + c - 2 a - b}{3} = \frac{- ( 1 + t ) a + ( t - 1 ) b + c}{3}

である。 $∣ a ∣^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 9$ 、 $∣ c ∣^{2} = 14$ 、 $a \cdot b = 3$ 、 $b \cdot c = \frac{5}{2}$ 、 $c \cdot a = - \frac{7}{5}$ を使って、分子の大きさの2乗を計算する。

4 (1 + t)^{2} + 9 (t - 1)^{2} + 14 - 6 (1 + t) (t - 1) + 5 (t - 1) + \frac{14}{5} (1 + t)

である（交差項の符号は、 $a$ の係数が $- (1 + t)$ 、 $b$ の係数が $t - 1$ 、 $c$ の係数が $1$ であることから決まる）。展開すると

$t^{2}$ の係数 … $4 + 9 - 6 = 7$
$t$ の係数 … $8 - 18 + 5 + \frac{14}{5} = - \frac{11}{5}$
定数項 … $4 + 9 + 14 + 6 - 5 + \frac{14}{5} = \frac{154}{5}$

なので

9 DG^{2} = 7 t^{2} - \frac{11}{5} t + \frac{154}{5}

である。 $t^{2}$ の係数が正なので、これを最小にする $t$ は

t = \frac{\frac{11}{5}}{2 \cdot 7} = \frac{11}{70}

である（ $0 < \frac{11}{70} < 1$ なので、 $P, Q$ は辺の内部にあり条件を満たす）。

$t$ を $0.00001$ 刻みで走査して $DG$ を計算すると、最小は $t = 0.15714$ で $\frac{11}{70} = 0.1571429$ と一致した。

$DG$ そのものではなく $DG^{2}$ を最小にすればよい（ $DG ≧ 0$ だから同じ $t$ で最小になる）。

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問題文について

(1)四面体 OABC で OA=a、OB=b、OC=c とする。辺 AB を 1:2 に内分する点を D、辺 OA を 1−t:t に内分する点を P、辺 OB を t:1−t に内分する点を Q、三角形 CPQ の重心を G とするとき、OD,OG を表す

(2)OA=2、OB=3、OC=14​、AB=7​、BC=32​ のとき、a⋅b および b⋅c を求める

(3)四面体を辺 OA,OB,OC で切り開いた展開図を平面 ABC 上に描き、三角形 OAC に対応する三角形を O′AC とすると、四角形 O′ABC は円に内接する。このとき c⋅a を求める

(4)DG を最小にする t の値を求める

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(1)四面体 $OABC$ で $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ とする。辺 $AB$ を $1 : 2$ に内分する点を $D$ 、辺 $OA$ を $1 - t : t$ に内分する点を $P$ 、辺 $OB$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $Q$ 、三角形 $CPQ$ の重心を $G$ とするとき、 $OD, OG$ を表す

(2) $OA = 2$ 、 $OB = 3$ 、 $OC = 14$ 、 $AB = 7$ 、 $BC = 32$ のとき、 $a \cdot b$ および $b \cdot c$ を求める

(3)四面体を辺 $OA, OB, OC$ で切り開いた展開図を平面 $ABC$ 上に描き、三角形 $OAC$ に対応する三角形を $O^{'} AC$ とすると、四角形 $O^{'} ABC$ は円に内接する。このとき $c \cdot a$ を求める

(4) $DG$ を最小にする $t$ の値を求める