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名古屋工業大学　2024年度　前期日程　工学部

第3問媒介変数表示・積分法の解答・解説

媒介変数の微分・接線が切り取る長さが一定・曲線の長さ・y で積分する面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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掲載ページ名「入学試験過去問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $x (θ) = cos θ + lo g (tan \frac{θ}{2})$ 、 $y (θ) = sin θ$ （ $0 < θ ≦ \frac{π}{2}$ ）で定まる曲線 $C$ について、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ で $\frac{d x}{d θ} > 0$ を示す

答 $\frac{d x}{d θ} = \frac{cos ^{2} θ}{sin θ} > 0$

${lo g tan \frac{θ}{2}}^{'} = \frac{1}{sin θ}$ が効く。2倍角でまとめる。

$(tan \frac{θ}{2})^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{cos ^{2} \frac{θ}{2}}$ なので

{lo g tan \frac{θ}{2}}^{'} = \frac{1}{tan \frac{θ}{2}} \cdot \frac{1}{2 cos ^{2} \frac{θ}{2}} = \frac{1}{2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}} = \frac{1}{sin θ}

である（2倍角 $sin θ = 2 sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2}$ ）。よって

\frac{d x}{d θ} = - sin θ + \frac{1}{sin θ} = \frac{1 - sin ^{2} θ}{sin θ} = \frac{cos ^{2} θ}{sin θ}

である。 $0 < θ < \frac{π}{2}$ では $cos θ \neq = 0$ より $cos^{2} θ > 0$ 、 $sin θ > 0$ なので $\frac{d x}{d θ} > 0$ である。

$θ = 0.2, 0.8, 1.5$ で数値微分すると、 $\frac{cos ^{2} θ}{sin θ}$ と小数7桁まで一致した。

(2) $C$ 上の点 $P$ における接線と $x$ 軸との交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さが $θ$ によらず一定であることを示す（ $P$ は $(0, 1)$ とは異なるとする）

答 $PQ = 1$ （一定）

$\frac{d y}{d x} = tan θ$ になる。 $Q$ の座標を出せば、 $PQ$ の成分がちょうど $(cos θ, sin θ)$ の大きさになる。

$\frac{d y}{d θ} = cos θ$ と (1) より、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ で

\frac{d y}{d x} = \frac{cos θ}{\frac{c o s ^{2} θ}{s i n θ}} = \frac{sin θ}{cos θ} = tan θ

である（ $θ = \frac{π}{2}$ のとき $P = (0, 1)$ で接線は縦になり、 $x$ 軸と交わらない。だから除いてある）。

$P = (x (θ), sin θ)$ での接線は $y - sin θ = tan θ (X - x (θ))$ で、 $y = 0$ とすると

X - x (θ) = - \frac{sin θ}{tan θ} = - cos θ

なので $Q = (x (θ) - cos θ, 0)$ である。したがって

PQ = cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1

で、 $θ$ によらず一定である。

曲線 C と、その上の点 P における接線。接線が x 軸と交わる点を Q とすると、PQ の長さはどの P でも 1 になる。曲線は左へ伸びて x 軸に近づき、θ = π/2 では点 (0, 1) に達する。

「引いた接線が $x$ 軸から切り取る長さが一定」という性質をもつ曲線で、トラクトリックス（追跡線）と呼ばれる。長さ $1$ のひもの一端を $x$ 軸に沿って引いたときに、もう一端が描く線である。

$θ = 0.3, 0.9, 1.4$ で接線の傾きが $tan θ$ になり、 $PQ = 1.000000000000$ だった。

(3)曲線 $C$ の $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ の部分の長さ $L$ を求める

答 $L = lo g 2$

$(\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2}$ がきれいに $\frac{cos ^{2} θ}{sin ^{2} θ}$ になる。

(\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} = \frac{cos ^{4} θ}{sin ^{2} θ} + cos^{2} θ = cos^{2} θ \cdot \frac{cos ^{2} θ + sin ^{2} θ}{sin ^{2} θ} = \frac{cos ^{2} θ}{sin ^{2} θ}

である。 $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $cos θ ≧ 0$ 、 $sin θ > 0$ なので、根号をはずすと $\frac{cos θ}{sin θ}$ である。よって

L = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{cos θ}{sin θ} d θ = [lo g sin θ]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = lo g 1 - lo g \frac{1}{2} = lo g 2

である。

数値積分すると $0.6931472$ で、 $lo g 2 = 0.6931472$ と一致した。

(4)曲線 $C$ 、直線 $y = \frac{3}{2}$ 、および $y$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{π}{12} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4} lo g 3$

この部分では $x ≦ 0$ なので、 $y$ について $- x$ を積分する。 $y = sin θ$ で置換する。

$y = \frac{3}{2}$ となるのは $sin θ = \frac{3}{2}$ 、 $0 < θ ≦ \frac{π}{2}$ より $θ = \frac{π}{3}$ である。 $θ = \frac{π}{2}$ では $x = 0 + lo g tan \frac{π}{4} = 0$ 、 $y = 1$ なので、曲線は $y$ 軸上の点 $(0, 1)$ に達する。

(1) より $x$ は $θ$ について増加するので、 $\frac{π}{3} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $x ≦ 0$ である。したがって求める図形は、 $\frac{3}{2} ≦ y ≦ 1$ で曲線と $y$ 軸にはさまれた部分で

S = \int_{\frac{3}{2}}^{1} (0 - x) d y = - \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x (θ) cos θ d θ

である（ $y = sin θ$ 、 $d y = cos θ d θ$ ）。2つに分ける。

\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ = [\frac{θ}{2} + \frac{sin 2 θ}{4}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{4} - (\frac{π}{6} + \frac{3}{8}) = \frac{π}{12} - \frac{3}{8}

もう一方は部分積分する。 ${lo g tan \frac{θ}{2}}^{'} = \frac{1}{sin θ}$ （(1) で示した）なので

\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} cos θ lo g tan \frac{θ}{2} d θ = [sin θ lo g tan \frac{θ}{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} sin θ \cdot \frac{1}{sin θ} d θ

である。 $θ = \frac{π}{2}$ では $lo g tan \frac{π}{4} = 0$ 、 $θ = \frac{π}{3}$ では $sin \frac{π}{3} lo g tan \frac{π}{6} = \frac{3}{2} lo g \frac{1}{3} = - \frac{3}{4} lo g 3$ なので

= \frac{3}{4} lo g 3 - (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = \frac{3}{4} lo g 3 - \frac{π}{6}

である。したがって

S = - (\frac{π}{12} - \frac{3}{8}) - (\frac{3}{4} lo g 3 - \frac{π}{6}) = \frac{π}{12} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4} lo g 3

である（ $0.00259 \dots$ とごく小さい）。

数値積分すると $0.0025927$ で、 $\frac{π}{12} + \frac{3}{8} - \frac{3}{4} lo g 3 = 0.0025927$ と一致した。

この区間で $x$ は負なので、 $y$ 軸までの横幅は $- x$ である。符号を落とすと答えが負になる。

$lo g tan \frac{π}{6} = lo g \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} lo g 3$ である。

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問題文について

(1)x(θ)=cosθ+log(tan2θ​)、y(θ)=sinθ（0<θ≦2π​）で定まる曲線 C について、0<θ<2π​ で dθdx​>0 を示す

(2)C 上の点 P における接線と x 軸との交点を Q とするとき、線分 PQ の長さが θ によらず一定であることを示す（P は (0,1) とは異なるとする）

(3)曲線 C の 6π​≦θ≦2π​ の部分の長さ L を求める

(4)曲線 C、直線 y=23​​、および y 軸で囲まれる図形の面積 S を求める