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名古屋工業大学　2024年度　前期日程　工学部

第1問微分積分の解答・解説

部分積分・増減と最小値・変曲点・直交する接線の本数・面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は名古屋工業大学が公開しています。

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掲載ページ名「入学試験過去問題」／2026/10/14に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $f (x) = x lo g x$ （ $x > 0$ ）について、不定積分 $\int f (x) d x$ を求める

答 $\frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 lo g x - 2) + C$

$lo g x$ を微分する側にして部分積分。

$(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})^{'} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、部分積分して

\int x^{\frac{1}{2}} lo g x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x

である。 $\int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ だから

\int f (x) d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} lo g x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 lo g x - 2) + C

である。

$\frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 lo g x - 2)$ を数値微分すると $x lo g x$ と一致した。

(2) $f (x)$ の最小値を求める

答 $x = e^{- 2}$ のとき最小値 $- \frac{2}{e}$

$f^{'} (x) = \frac{lo g x + 2}{2 x}$ 。符号は分子だけで決まる。

f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} lo g x + x \cdot \frac{1}{x} = \frac{lo g x + 2}{2 x}

である。 $2 x > 0$ なので符号は $lo g x + 2$ で決まり、 $0 < x < e^{- 2}$ で負、 $x > e^{- 2}$ で正である。よって $x = e^{- 2}$ で最小になり

f (e^{- 2}) = e^{- 1} \cdot (- 2) = - \frac{2}{e}

が最小値である。

$f (e^{- 2}) = - 0.7357589$ で、 $- \frac{2}{e} = - 0.7357589$ と一致した。

(3)曲線 $C : y = f (x)$ の変曲点の座標を求める

答 $(1, 0)$

$f^{''}$ の符号が変わるところを探す。

$f^{'} (x) = \frac{1}{2} (lo g x + 2) x^{- \frac{1}{2}}$ をもう一度微分すると

f^{''} (x) = \frac{1}{2} {\frac{1}{x} \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{2} (lo g x + 2) x^{- \frac{3}{2}}} = \frac{x ^{- \frac{3}{2}}}{4} {2 - (lo g x + 2)} = - \frac{lo g x}{4 x ^{\frac{3}{2}}}

である。 $4 x^{\frac{3}{2}} > 0$ なので符号は $- lo g x$ で決まり、 $0 < x < 1$ で正（下に凸）、 $x > 1$ で負（上に凸）である。 $x = 1$ の前後で凹凸が変わるので変曲点は

(1, f (1)) = (1, 0)

である。

$f^{''} (0.5) = 0.4901 > 0$ 、 $f^{''} (2) = - 0.0613 < 0$ で、 $x = 1$ の前後で符号が変わった。

(4)点 $(1, 0)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $C$ の接線で $ℓ$ と直交するものが何本あるか答える

答 $1$ 本

$ℓ$ の傾きは $1$ なので、傾き $- 1$ の接線を探す。接点の方程式の解の個数を数える。

$f^{'} (1) = \frac{0 + 2}{2} = 1$ なので $ℓ$ の傾きは $1$ である。これと直交する接線の傾きは $- 1$ だから、接点 $t$ は

\frac{lo g t + 2}{2 t} = - 1, lo g t + 2 t + 2 = 0

を満たす。 $g (t) = lo g t + 2 t + 2$ （ $t > 0$ ）とおくと

g^{'} (t) = \frac{1}{t} + \frac{1}{t} > 0

なので $g$ は $t > 0$ で単調に増加する。 $t \to + 0$ で $g \to - \infty$ 、 $t \to \infty$ で $g \to \infty$ だから、 $g (t) = 0$ の解はただ1つである。接点が1つなら接線も1本なので、答えは1本である。

$g (e^{- 2}) = - 2 + 2 e^{- 1} + 2 = \frac{2}{e} > 0$ 、 $g (e^{- 4}) = - 4 + 2 e^{- 2} + 2 = - 2 + \frac{2}{e ^{2}} < 0$ なので、解は $e^{- 4} < t < e^{- 2}$ の間にある（数値では $t = 0.0775$ ）。

$lo g t + 2 t + 2 = 0$ を二分法で解くと $t = 0.0775425$ の1つだけで、そこでの $f^{'}$ は $- 1$ だった。

解を具体的に求める必要はない。単調性と極限から「ちょうど1つ」と言えればよい。

(5)曲線 $C$ 、 $x$ 軸の $x ≧ 1$ の部分、および直線 $x = e^{2}$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{8 e ^{3} + 4}{9}$

$x ≧ 1$ では $f ≧ 0$ なので、そのまま積分すればよい。(1) の原始関数を使う。

$f (x) = x lo g x$ は $x ≧ 1$ で $0$ 以上（ $x = 1$ でのみ $0$ ）なので

S = \int_{1}^{e^{2}} x lo g x d x = [\frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} (3 lo g x - 2)]_{1}^{e^{2}}

である。 $x = e^{2}$ では $x^{\frac{3}{2}} = e^{3}$ 、 $lo g x = 2$ なので

\frac{2}{9} e^{3} (6 - 2) = \frac{8}{9} e^{3}

で、 $x = 1$ では $\frac{2}{9} (0 - 2) = - \frac{4}{9}$ である。よって

S = \frac{8}{9} e^{3} + \frac{4}{9} = \frac{8 e ^{3} + 4}{9}

である（ $18.29 \dots$ ）。

y = √x log x のグラフ。x = e の −2 乗で最小値 −2/e、x = 1 で x 軸と交わり同時に変曲点になる。塗った部分が x = 1 から x = e² までの面積。

数値積分すると $18.2982550$ で、 $\frac{8 e ^{3} + 4}{9} = 18.2982550$ と一致した。

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問題文について

(1)f(x)=x​logx（x>0）について、不定積分 ∫f(x)dx を求める

(2)f(x) の最小値を求める

(3)曲線 C:y=f(x) の変曲点の座標を求める

(4)点 (1,0) における C の接線を ℓ とする。C の接線で ℓ と直交するものが何本あるか答える

(5)曲線 C、x 軸の x≧1 の部分、および直線 x=e2 で囲まれる図形の面積 S を求める