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京都大学　2022年度　前期日程　文系

第3問積分法の解答・解説

放物線の接線・直交条件・解と係数の関係・面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$C : y = \frac{x ^{2}}{4}$ に接する直交2直線 $L_{1}, L_{2}$ の交点の $x$ 座標が $\frac{3}{2}$ のとき、 $L_{1}, L_{2}, C$ で囲まれる図形の面積を求める

答 $\frac{125}{48}$

接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、接線は $y = \frac{t}{2} x - \frac{t ^{2}}{4}$ である。2本の交点の $x$ 座標が $\frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ 、直交条件が $t_{1} t_{2} = - 4$ と、どちらも $t_{1}, t_{2}$ の基本対称式で書けるので、2次方程式1本で接点が決まる。面積は、接しているおかげで被積分関数が完全平方になる。

$y^{'} = \frac{x}{2}$ なので、 $C$ の点 $(t, \frac{t ^{2}}{4})$ での接線は

y = \frac{t}{2} (x - t) + \frac{t ^{2}}{4} = \frac{t}{2} x - \frac{t ^{2}}{4}

である。 $L_{1}, L_{2}$ の接点を $t_{1}, t_{2}$ （ $t_{1} \neq = t_{2}$ ）とする。

2つの条件。 傾きは $\frac{t _{1}}{2}, \frac{t _{2}}{2}$ で、直交するから

\frac{t _{1}}{2} \cdot \frac{t _{2}}{2} = - 1 ⟺ t_{1} t_{2} = - 4

である。交点の $x$ 座標は、2本の式を等しいとおいて

\frac{t _{1}}{2} x - \frac{t _{1}^{2}}{4} = \frac{t _{2}}{2} x - \frac{t _{2}^{2}}{4} ⟹ x = \frac{t _{1} + t _{2}}{2}

なので、 $\frac{t _{1} + t _{2}}{2} = \frac{3}{2}$ より $t_{1} + t_{2} = 3$ である。

接点を求める。 $t_{1}, t_{2}$ は $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ の2解だから $(t - 4) (t + 1) = 0$ 、すなわち

t = - 1, 4

である。接線は

L_{1} : y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} L_{2} : y = 2 x - 4

で、交点は $(\frac{3}{2}, - 1)$ である。

面積。 $- 1 \leq x \leq \frac{3}{2}$ では $L_{1}$ が、 $\frac{3}{2} \leq x \leq 4$ では $L_{2}$ が下側の境界になる。接しているので差は完全平方になり

\frac{x ^{2}}{4} - (- \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{4}, \frac{x ^{2}}{4} - (2 x - 4) = \frac{( x - 4 ) ^{2}}{4}

である。したがって

S = \int_{- 1}^{\frac{3}{2}} \frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} \frac{( x - 4 ) ^{2}}{4} d x = [\frac{( x + 1 ) ^{3}}{12}]_{- 1}^{\frac{3}{2}} + [\frac{( x - 4 ) ^{3}}{12}]_{\frac{3}{2}}^{4} = \frac{1}{12} (\frac{5}{2})^{3} + \frac{1}{12} (\frac{5}{2})^{3} = \frac{125}{96} + \frac{125}{96} = \frac{125}{48}

である（ $2.604$ ほど）。

C : y = \frac{x ^{2}}{4}

と直交する2接線。接点は

(- 1, \frac{1}{4})

と

(4, 4)

、交点は

(\frac{3}{2}, - 1)

。囲まれた部分の面積は

\frac{125}{48} = 2.604

。

$L_{1}, L_{2}$ の傾きは $- \frac{1}{2}$ と $2$ で積は $- 1$ 、どちらも $x = \frac{3}{2}$ で $y = - 1$ をとる。面積を $- 1 \leq x \leq 4$ で $200$ 万点の数値積分で求めると $2.604166667$ となり、 $\frac{125}{48} = 2.604166667$ と一致する。

交点の $x$ 座標が $\frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ （2つの接点の中点の $x$ 座標）になるのは放物線の性質である。覚えておくと計算が1行で済む。

接線の式の切片は $- \frac{t ^{2}}{4}$ で、符号を落としやすい。接点の $y$ 座標 $\frac{t ^{2}}{4}$ と混同しない。

積分区間を交点 $x = \frac{3}{2}$ で分ける。 $L_{1}$ と $L_{2}$ のどちらが下かは、交点の左右で入れ替わる。

$\frac{x ^{2}}{4} - (接線)$ は必ず $\frac{( x - t ) ^{2}}{4}$ になる。これを使えば展開せずに積分できる。

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C:y=4x2​ に接する直交2直線 L1​,L2​ の交点の x 座標が 23​ のとき、L1​,L2​,C で囲まれる図形の面積を求める

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