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京都大学　2022年度　前期日程　文系

第4問図形と方程式の解答・解説

解と係数の関係・軌跡・線分の長さの比・双曲線当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$\frac{PQ}{RS} = 2$ を保ちながら $a, b > 0$ が動くとき、線分 $PQ$ の中点の軌跡を求める

答双曲線 $x y = 1$ の $x > 0$ の部分（第1象限の枝）全体

$L$ と $y = - \frac{1}{x}$ を連立すると $x$ の2次方程式になるので、 $P, Q$ の座標を解かずに解と係数の関係だけで中点が書ける。 $PQ$ と $RS$ はどちらも同じ直線 $L$ 上の線分なので、比をとると傾きの部分が約分され、 $x$ 座標の差の比だけが残る。

$y = - \frac{1}{x}$ を $a x + b y = 1$ に入れて $x$ 倍すると（ $x \neq = 0$ ）

a x^{2} - x - b = 0

となる。2解を $α, β$ とすると、解と係数の関係より

α + β = \frac{1}{a}, α β = - \frac{b}{a} < 0

である。積が負なので1つは負、1つは正で、判別式は $1 + 4 ab > 0$ だから確かに2交点をもつ。 $y = - \frac{1}{x}$ より、 $x < 0$ の側が $y > 0$ （点 $P$ ）、 $x > 0$ の側が $y < 0$ （点 $Q$ ）である。

中点。 中点を $M (X, Y)$ とすると

X = \frac{α + β}{2} = \frac{1}{2 a}

であり、 $y = - \frac{1}{x}$ だから

Y = \frac{1}{2} (- \frac{1}{α} - \frac{1}{β}) = - \frac{α + β}{2 α β} = - \frac{\frac{1}{a}}{2 ( - \frac{b}{a} )} = \frac{1}{2 b}

である。 $a, b > 0$ なので $X > 0$ 、 $Y > 0$ である。

$\frac{PQ}{RS}$ を計算する。 $R (\frac{1}{a}, 0)$ 、 $S (0, \frac{1}{b})$ である。 $P, Q, R, S$ はすべて直線 $L$ の上にあるので、線分の長さは「 $x$ 座標の差」に同じ比例定数 $1 + (傾き)^{2}$ を掛けたものになる。したがって

\frac{PQ}{RS} = \frac{∣ α - β ∣}{\frac{1}{a} - 0} = a ∣ α - β ∣

である。ここで

(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{4 b}{a}

なので

\frac{PQ}{RS} = a^{2} (\frac{1}{a ^{2}} + \frac{4 b}{a}) = 1 + 4 ab

である。これが $2$ になる条件は

1 + 4 ab = 2 ⟺ ab = \frac{1}{4}

である。

軌跡。 $X = \frac{1}{2 a}$ 、 $Y = \frac{1}{2 b}$ より

X Y = \frac{1}{4 ab} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1

である。逆に $X > 0$ 、 $Y > 0$ 、 $X Y = 1$ をみたす点に対して $a = \frac{1}{2 X} > 0$ 、 $b = \frac{1}{2 Y} > 0$ とおけば $ab = \frac{1}{4 X Y} = \frac{1}{4}$ となり条件をみたすので、この点は実際に中点として現れる。よって求める軌跡は

双曲線 x y = 1 の x > 0 の部分

である。

a = b = \frac{1}{2}

（

ab = \frac{1}{4}

）のときの配置。

P, Q

は

L

と

y = - \frac{1}{x}

の交点、

R, S

は

L

と座標軸の交点。中点

M (1, 1)

は破線の双曲線

x y = 1

（

x > 0

）の上にある。

$a = b = \frac{1}{2}$ なら $L : x + y = 2$ で、交点は $P (1 - 2, 1 + 2)$ 、 $Q (1 + 2, 1 - 2)$ 、 $R (2, 0)$ 、 $S (0, 2)$ である。 $PQ = 4$ 、 $RS = 22$ で比は $2$ 、中点は $(1, 1)$ で $x y = 1$ をみたす。 $ab = \frac{1}{4}$ をみたす $20$ 万組で調べても、比はつねに $2$ 、中点はつねに $x y = 1$ の上にあった。

$P$ は $y$ 座標が正のほうなので、 $x$ 座標は負のほうである。 $y = - \frac{1}{x}$ の符号の入れ替わりを押さえる。

$PQ$ と $RS$ が同じ直線上にあることを使うと、 $1 + (傾き)^{2}$ が約分されて $x$ 座標の差の比だけになる。長さを両方とも根号のまま計算すると煩雑になる。

$Y = \frac{1}{2 b}$ を出すとき、 $- \frac{1}{α} - \frac{1}{β} = - \frac{α + β}{α β}$ と通分する。 $α, β$ を具体的に解く必要はない。

「軌跡を求めよ」なので、逆向き（その点が実際に現れること）も確かめる。 $x > 0$ の枝がすべて現れることまで言う。

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RSPQ​=2​ を保ちながら a,b>0 が動くとき、線分 PQ の中点の軌跡を求める

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