第1問指数・対数の解答・解説

底の変換・常用対数・不等式の評価・2のべき当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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答上は $2022 < 2^{11}$ から、下は $lo g_{4} 2022 = \frac{lo g _{10} 2022}{2 lo g _{10} 2} > \frac{3.301}{0.6022} > 5.4$ から

上限は $2$ のべきと比べるだけで済む。 $2048 = 2^{11}$ がちょうど $4^{5.5}$ だからである。下限は $lo g_{10}$ に直し、 $2022 > 2000 = 2 \times 1 0^{3}$ を使って $lo g_{10} 2022$ を下から押さえる。

$lo g_{4} 2022 = \frac{lo g _{10} 2022}{lo g _{10} 4} = \frac{lo g _{10} 2022}{2 lo g _{10} 2}$ である。

上からの評価。 $2022 < 2048 = 2^{11}$ で、 $2^{11} = (2^{2})^{5.5} = 4^{5.5}$ だから

lo g_{4} 2022 < lo g_{4} 4^{5.5} = 5.5

である。

下からの評価。 $2022 > 2000 = 2 \times 1 0^{3}$ なので

lo g_{10} 2022 > lo g_{10} 2 + 3 > 0.301 + 3 = 3.301

である。また $lo g_{10} 2 < 0.3011$ より $2 lo g_{10} 2 < 0.6022$ だから

lo g_{4} 2022 = \frac{lo g _{10} 2022}{2 lo g _{10} 2} > \frac{3.301}{0.6022}

である。ここで

5.4 \times 0.6022 = 3.25188 < 3.301

なので $\frac{3.301}{0.6022} > 5.4$ 、したがって

5.4 < lo g_{4} 2022 < 5.5

が示された。

実際の値は $lo g_{4} 2022 = 5.4908$ である。上限 $5.5$ はかなりぎりぎりで、 $2022$ と $2048$ の近さがそのまま効いている。

$lo g_{4} 2022 = 5.490784$ で、確かに $5.4$ と $5.5$ のあいだにある。下からの評価の値は $\frac{3.301}{0.6022} = 5.481568$ で、 $5.4$ より大きい。

分数の下からの評価では、分子を小さく・分母を大きく見積もる。 $lo g_{10} 2022$ には $0.301$ （下から）、 $lo g_{10} 2$ には $0.3011$ （上から）と、同じ $lo g_{10} 2$ でも使う向きが違う。

$\frac{3.301}{0.6022} > 5.4$ は割り算せず、 $5.4 \times 0.6022$ を計算して比べる。筆算が軽く、誤差の心配もない。

上限は常用対数を使わなくても出る。 $4^{5.5} = 2^{11}$ に気づけるかどうかだけである。

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