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京都大学 2022年度 前期日程 文系
第5問 空間ベクトルの解答・解説
内積の計算・重心・垂直条件・2次関数の最小当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12
問題文について
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(1) を示す
答 なので が の位置によらず一定で、
などとおいて、6本の辺の長さから内積をすべて出してしまう。重心なので と書け、 は と だけの式になる。
、、 とおく。辺の長さから内積を出す。
であり、 から
である。 から
であり、 から
である。
を書く。 は辺 上なので、 として
とおける。 は の重心だから
である。
内積を計算する。 なので
となり、 によらず一定である。したがって
である。、 なので である。
は、 と から直線 に下ろした垂線の足が同じ点（ を に、つまり の長さ の上で から の点）だということである。だから辺 全体が に垂直な平面に乗っている。
内積の表から座標を作ると、、、 がすべて再現され、四面体の体積は である。 を辺 上で 万等分して動かしても、 は誤差 未満でつねに であった。
は の重心なので、 も頂点に数えて で割る。 としない。
と が等しいことが効いている。等しくなければ が残って垂直にならない。
(2) が辺 上を動くときの の最小値を求める
答
(1) の式 の長さを2乗すると、 が一定なので だけの式になる。あとは を最小にする を探すだけである。
(1) より なので
である。したがって が最小になるのは が最小のときである。
を計算する。
である。 は の中にあるので、最小値は である。このとき
なので
である（ が を に内分する点のとき）。
座標で を辺 上に 万等分して動かすと、 の最小は （）で、、 と一致する。このとき である。
を最小にすることと を最小にすることが同値なのは、 が一定だからである。(1) の結果がそのまま効いている。
が区間 の内部にあることを確かめる。外に出ていれば端の値を比べることになる。
の係数 を落とさない。展開は である。
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