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京都大学　2022年度　前期日程　文系

京大文系 2022年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　指数・対数

底の変換・常用対数・不等式の評価・2のべき当サイトの体感難易度：標準

$5.4 < lo g_{4} 2022 < 5.5$ を示す（ $0.301 < lo g_{10} 2 < 0.3011$ を用いてよい）

答上は $2022 < 2^{11}$ から、下は $lo g_{4} 2022 = \frac{lo g _{10} 2022}{2 lo g _{10} 2} > \frac{3.301}{0.6022} > 5.4$ から

上限は $2$ のべきと比べるだけで済む。 $2048 = 2^{11}$ がちょうど $4^{5.5}$ だからである。下限は $lo g_{10}$ に直し、 $2022 > 2000 = 2 \times 1 0^{3}$ を使って $lo g_{10} 2022$ を下から押さえる。

$lo g_{4} 2022 = \frac{lo g _{10} 2022}{lo g _{10} 4} = \frac{lo g _{10} 2022}{2 lo g _{10} 2}$ である。

上からの評価。 $2022 < 2048 = 2^{11}$ で、 $2^{11} = (2^{2})^{5.5} = 4^{5.5}$ だから

lo g_{4} 2022 < lo g_{4} 4^{5.5} = 5.5

である。

下からの評価。 $2022 > 2000 = 2 \times 1 0^{3}$ なので

lo g_{10} 2022 > lo g_{10} 2 + 3 > 0.301 + 3 = 3.301

である。また $lo g_{10} 2 < 0.3011$ より $2 lo g_{10} 2 < 0.6022$ だから

lo g_{4} 2022 = \frac{lo g _{10} 2022}{2 lo g _{10} 2} > \frac{3.301}{0.6022}

である。ここで

5.4 \times 0.6022 = 3.25188 < 3.301

なので $\frac{3.301}{0.6022} > 5.4$ 、したがって

5.4 < lo g_{4} 2022 < 5.5

が示された。

実際の値は $lo g_{4} 2022 = 5.4908$ である。上限 $5.5$ はかなりぎりぎりで、 $2022$ と $2048$ の近さがそのまま効いている。

$lo g_{4} 2022 = 5.490784$ で、確かに $5.4$ と $5.5$ のあいだにある。下からの評価の値は $\frac{3.301}{0.6022} = 5.481568$ で、 $5.4$ より大きい。

分数の下からの評価では、分子を小さく・分母を大きく見積もる。 $lo g_{10} 2022$ には $0.301$ （下から）、 $lo g_{10} 2$ には $0.3011$ （上から）と、同じ $lo g_{10} 2$ でも使う向きが違う。

$\frac{3.301}{0.6022} > 5.4$ は割り算せず、 $5.4 \times 0.6022$ を計算して比べる。筆算が軽く、誤差の心配もない。

上限は常用対数を使わなくても出る。 $4^{5.5} = 2^{11}$ に気づけるかどうかだけである。

第1問だけのページ

第2問　場合の数

漸化式・グラフ上の経路・対称性・上下2状態当サイトの体感難易度：標準

$A$ を始点として辺に沿って $n$ 回移動したとき、終点が $A, B, C$ のいずれかとなる経路の総数 $a_{n}$ を求める

答 $a_{n} = \frac{3 ^{n} + 1}{2}$

どの頂点からも辺は3本出ていて、そのうち2本は同じ三角形（同じ面）の中、1本だけが反対側の面へ向かう。だから「いま上の面にいるか下の面にいるか」だけを追えばよく、6頂点を2状態にまとめられる。

$A, B, C$ を「上の面」、 $D, E, F$ を「下の面」と呼ぶ。どの頂点からも辺は3本出ていて、その内訳は

同じ面の他の2頂点へ： $2$ 本
向かい合う面の頂点へ： $1$ 本

である。そこで、 $n$ 回移動したあと上の面にいる経路の数を $t_{n}$ 、下の面にいる数を $u_{n}$ とする。 $P_{0} = A$ なので $t_{0} = 1$ 、 $u_{0} = 0$ である。

漸化式。 上の内訳から

t_{n} = 2 t_{n - 1} + u_{n - 1}, u_{n} = t_{n - 1} + 2 u_{n - 1}

である。和と差をとると

t_{n} + u_{n} = 3 (t_{n - 1} + u_{n - 1}), t_{n} - u_{n} = t_{n - 1} - u_{n - 1}

となる。したがって $t_{n} + u_{n} = 3^{n}$ （全経路数で、当然である）、 $t_{n} - u_{n} = t_{0} - u_{0} = 1$ である。2式を足して $2$ で割ると

a_{n} = t_{n} = \frac{3 ^{n} + 1}{2}

である。

最初の数項は $2, 5, 14, 41, 122, \dots$ である。 $3^{n}$ が奇数なので $3^{n} + 1$ は偶数で、 $a_{n}$ は必ず整数になる。

三角柱の辺のつながりを隣接表にして経路数を数え上げると、 $n = 1, \dots, 9$ で $2, 5, 14, 41, 122, 365, 1094, 3281, 9842$ となり、 $\frac{3 ^{n} + 1}{2}$ の値と完全に一致する。たとえば $n = 2$ では、 $A$ から2回で上の面に戻る経路が $5$ 通りある。

「上の面にいる」だけを状態にできるのは、上の面のどの頂点から見ても内訳が $2 : 1$ で同じだからである。頂点ごとに数えようとすると6本の漸化式になる。

$t_{n} - u_{n}$ が変わらないことに気づくと、 $t_{n}$ の2項間漸化式を解かずに済む。 $t_{n} = 2 t_{n - 1} + (3^{n - 1} - t_{n - 1}) = t_{n - 1} + 3^{n - 1}$ として階差で解いてもよい。

$P_{0} = A$ なので $n = 0$ では終点が $A$ である。 $t_{0} = 1$ から始める。

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第3問　積分法

放物線の接線・直交条件・解と係数の関係・面積当サイトの体感難易度：標準

$C : y = \frac{x ^{2}}{4}$ に接する直交2直線 $L_{1}, L_{2}$ の交点の $x$ 座標が $\frac{3}{2}$ のとき、 $L_{1}, L_{2}, C$ で囲まれる図形の面積を求める

答 $\frac{125}{48}$

接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、接線は $y = \frac{t}{2} x - \frac{t ^{2}}{4}$ である。2本の交点の $x$ 座標が $\frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ 、直交条件が $t_{1} t_{2} = - 4$ と、どちらも $t_{1}, t_{2}$ の基本対称式で書けるので、2次方程式1本で接点が決まる。面積は、接しているおかげで被積分関数が完全平方になる。

$y^{'} = \frac{x}{2}$ なので、 $C$ の点 $(t, \frac{t ^{2}}{4})$ での接線は

y = \frac{t}{2} (x - t) + \frac{t ^{2}}{4} = \frac{t}{2} x - \frac{t ^{2}}{4}

である。 $L_{1}, L_{2}$ の接点を $t_{1}, t_{2}$ （ $t_{1} \neq = t_{2}$ ）とする。

2つの条件。 傾きは $\frac{t _{1}}{2}, \frac{t _{2}}{2}$ で、直交するから

\frac{t _{1}}{2} \cdot \frac{t _{2}}{2} = - 1 ⟺ t_{1} t_{2} = - 4

である。交点の $x$ 座標は、2本の式を等しいとおいて

\frac{t _{1}}{2} x - \frac{t _{1}^{2}}{4} = \frac{t _{2}}{2} x - \frac{t _{2}^{2}}{4} ⟹ x = \frac{t _{1} + t _{2}}{2}

なので、 $\frac{t _{1} + t _{2}}{2} = \frac{3}{2}$ より $t_{1} + t_{2} = 3$ である。

接点を求める。 $t_{1}, t_{2}$ は $t^{2} - 3 t - 4 = 0$ の2解だから $(t - 4) (t + 1) = 0$ 、すなわち

t = - 1, 4

である。接線は

L_{1} : y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{4} L_{2} : y = 2 x - 4

で、交点は $(\frac{3}{2}, - 1)$ である。

面積。 $- 1 \leq x \leq \frac{3}{2}$ では $L_{1}$ が、 $\frac{3}{2} \leq x \leq 4$ では $L_{2}$ が下側の境界になる。接しているので差は完全平方になり

\frac{x ^{2}}{4} - (- \frac{x}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{4}, \frac{x ^{2}}{4} - (2 x - 4) = \frac{( x - 4 ) ^{2}}{4}

である。したがって

S = \int_{- 1}^{\frac{3}{2}} \frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} \frac{( x - 4 ) ^{2}}{4} d x = [\frac{( x + 1 ) ^{3}}{12}]_{- 1}^{\frac{3}{2}} + [\frac{( x - 4 ) ^{3}}{12}]_{\frac{3}{2}}^{4} = \frac{1}{12} (\frac{5}{2})^{3} + \frac{1}{12} (\frac{5}{2})^{3} = \frac{125}{96} + \frac{125}{96} = \frac{125}{48}

である（ $2.604$ ほど）。

C : y = \frac{x ^{2}}{4}

と直交する2接線。接点は

(- 1, \frac{1}{4})

と

(4, 4)

、交点は

(\frac{3}{2}, - 1)

。囲まれた部分の面積は

\frac{125}{48} = 2.604

。

$L_{1}, L_{2}$ の傾きは $- \frac{1}{2}$ と $2$ で積は $- 1$ 、どちらも $x = \frac{3}{2}$ で $y = - 1$ をとる。面積を $- 1 \leq x \leq 4$ で $200$ 万点の数値積分で求めると $2.604166667$ となり、 $\frac{125}{48} = 2.604166667$ と一致する。

交点の $x$ 座標が $\frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ （2つの接点の中点の $x$ 座標）になるのは放物線の性質である。覚えておくと計算が1行で済む。

接線の式の切片は $- \frac{t ^{2}}{4}$ で、符号を落としやすい。接点の $y$ 座標 $\frac{t ^{2}}{4}$ と混同しない。

積分区間を交点 $x = \frac{3}{2}$ で分ける。 $L_{1}$ と $L_{2}$ のどちらが下かは、交点の左右で入れ替わる。

$\frac{x ^{2}}{4} - (接線)$ は必ず $\frac{( x - t ) ^{2}}{4}$ になる。これを使えば展開せずに積分できる。

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第4問　図形と方程式

解と係数の関係・軌跡・線分の長さの比・双曲線当サイトの体感難易度：やや難

$\frac{PQ}{RS} = 2$ を保ちながら $a, b > 0$ が動くとき、線分 $PQ$ の中点の軌跡を求める

答双曲線 $x y = 1$ の $x > 0$ の部分（第1象限の枝）全体

$L$ と $y = - \frac{1}{x}$ を連立すると $x$ の2次方程式になるので、 $P, Q$ の座標を解かずに解と係数の関係だけで中点が書ける。 $PQ$ と $RS$ はどちらも同じ直線 $L$ 上の線分なので、比をとると傾きの部分が約分され、 $x$ 座標の差の比だけが残る。

$y = - \frac{1}{x}$ を $a x + b y = 1$ に入れて $x$ 倍すると（ $x \neq = 0$ ）

a x^{2} - x - b = 0

となる。2解を $α, β$ とすると、解と係数の関係より

α + β = \frac{1}{a}, α β = - \frac{b}{a} < 0

である。積が負なので1つは負、1つは正で、判別式は $1 + 4 ab > 0$ だから確かに2交点をもつ。 $y = - \frac{1}{x}$ より、 $x < 0$ の側が $y > 0$ （点 $P$ ）、 $x > 0$ の側が $y < 0$ （点 $Q$ ）である。

中点。 中点を $M (X, Y)$ とすると

X = \frac{α + β}{2} = \frac{1}{2 a}

であり、 $y = - \frac{1}{x}$ だから

Y = \frac{1}{2} (- \frac{1}{α} - \frac{1}{β}) = - \frac{α + β}{2 α β} = - \frac{\frac{1}{a}}{2 ( - \frac{b}{a} )} = \frac{1}{2 b}

である。 $a, b > 0$ なので $X > 0$ 、 $Y > 0$ である。

$\frac{PQ}{RS}$ を計算する。 $R (\frac{1}{a}, 0)$ 、 $S (0, \frac{1}{b})$ である。 $P, Q, R, S$ はすべて直線 $L$ の上にあるので、線分の長さは「 $x$ 座標の差」に同じ比例定数 $1 + (傾き)^{2}$ を掛けたものになる。したがって

\frac{PQ}{RS} = \frac{∣ α - β ∣}{\frac{1}{a} - 0} = a ∣ α - β ∣

である。ここで

(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{4 b}{a}

なので

\frac{PQ}{RS} = a^{2} (\frac{1}{a ^{2}} + \frac{4 b}{a}) = 1 + 4 ab

である。これが $2$ になる条件は

1 + 4 ab = 2 ⟺ ab = \frac{1}{4}

である。

軌跡。 $X = \frac{1}{2 a}$ 、 $Y = \frac{1}{2 b}$ より

X Y = \frac{1}{4 ab} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1

である。逆に $X > 0$ 、 $Y > 0$ 、 $X Y = 1$ をみたす点に対して $a = \frac{1}{2 X} > 0$ 、 $b = \frac{1}{2 Y} > 0$ とおけば $ab = \frac{1}{4 X Y} = \frac{1}{4}$ となり条件をみたすので、この点は実際に中点として現れる。よって求める軌跡は

双曲線 x y = 1 の x > 0 の部分

である。

a = b = \frac{1}{2}

（

ab = \frac{1}{4}

）のときの配置。

P, Q

は

L

と

y = - \frac{1}{x}

の交点、

R, S

は

L

と座標軸の交点。中点

M (1, 1)

は破線の双曲線

x y = 1

（

x > 0

）の上にある。

$a = b = \frac{1}{2}$ なら $L : x + y = 2$ で、交点は $P (1 - 2, 1 + 2)$ 、 $Q (1 + 2, 1 - 2)$ 、 $R (2, 0)$ 、 $S (0, 2)$ である。 $PQ = 4$ 、 $RS = 22$ で比は $2$ 、中点は $(1, 1)$ で $x y = 1$ をみたす。 $ab = \frac{1}{4}$ をみたす $20$ 万組で調べても、比はつねに $2$ 、中点はつねに $x y = 1$ の上にあった。

$P$ は $y$ 座標が正のほうなので、 $x$ 座標は負のほうである。 $y = - \frac{1}{x}$ の符号の入れ替わりを押さえる。

$PQ$ と $RS$ が同じ直線上にあることを使うと、 $1 + (傾き)^{2}$ が約分されて $x$ 座標の差の比だけになる。長さを両方とも根号のまま計算すると煩雑になる。

$Y = \frac{1}{2 b}$ を出すとき、 $- \frac{1}{α} - \frac{1}{β} = - \frac{α + β}{α β}$ と通分する。 $α, β$ を具体的に解く必要はない。

「軌跡を求めよ」なので、逆向き（その点が実際に現れること）も確かめる。 $x > 0$ の枝がすべて現れることまで言う。

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第5問　空間ベクトル

内積の計算・重心・垂直条件・2次関数の最小当サイトの体感難易度：標準

(1) $PG ⊥ OA$ を示す

答 $a \cdot b = a \cdot c = 8$ なので $OP \cdot a = 8$ が $P$ の位置によらず一定で、 $PG \cdot a = \frac{16 - 2 \cdot 8}{3} = 0$

$a = OA$ などとおいて、6本の辺の長さから内積をすべて出してしまう。重心なので $OG = \frac{a + OP}{3}$ と書け、 $PG$ は $a$ と $OP$ だけの式になる。

$a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ とおく。辺の長さから内積を出す。

∣ a ∣^{2} = 16, b^{2} = 9, ∣ c ∣^{2} = 12

であり、 $AB = 3$ から

b - a^{2} = 9 ⟹ 9 - 2 a \cdot b + 16 = 9 ⟹ a \cdot b = 8

である。 $AC = 23$ から

12 - 2 a \cdot c + 16 = 12 ⟹ a \cdot c = 8

であり、 $BC = 3$ から

12 - 2 b \cdot c + 9 = 9 ⟹ b \cdot c = 6

である。

$PG$ を書く。 $P$ は辺 $BC$ 上なので、 $0 \leq s \leq 1$ として

OP = (1 - s) b + s c

とおける。 $G$ は $△ OAP$ の重心だから

OG = \frac{0 + a + OP}{3}, PG = OG - OP = \frac{a - 2 OP}{3}

である。

内積を計算する。 $a \cdot b = a \cdot c = 8$ なので

OP \cdot a = (1 - s) \cdot 8 + s \cdot 8 = 8

となり、 $s$ によらず一定である。したがって

PG \cdot OA = \frac{∣ a ∣ ^{2} - 2 OP \cdot a}{3} = \frac{16 - 16}{3} = 0

である。 $PG \neq = 0$ 、 $OA \neq = 0$ なので $PG ⊥ OA$ である。

$a \cdot b = a \cdot c = 8$ は、 $B$ と $C$ から直線 $OA$ に下ろした垂線の足が同じ点（ $OA$ を $8 : 8$ に、つまり $OA$ の長さ $4$ の上で $O$ から $2$ の点）だということである。だから辺 $BC$ 全体が $OA$ に垂直な平面に乗っている。

内積の表から座標を作ると、 $OA = 4$ 、 $OB = AB = BC = 3$ 、 $OC = AC = 23 = 3.4641$ がすべて再現され、四面体の体積は $4$ である。 $P$ を辺 $BC$ 上で $40$ 万等分して動かしても、 $PG \cdot OA$ は誤差 $1 0^{- 9}$ 未満でつねに $0$ であった。

$OG$ は $△ OAP$ の重心なので、 $O$ も頂点に数えて $3$ で割る。 $\frac{a + OP}{2}$ としない。

$a \cdot b$ と $a \cdot c$ が等しいことが効いている。等しくなければ $s$ が残って垂直にならない。

(2) $P$ が辺 $BC$ 上を動くときの $PG$ の最小値を求める

答 $\frac{4}{3}$

(1) の式 $PG = \frac{a - 2 OP}{3}$ の長さを2乗すると、 $OP \cdot a = 8$ が一定なので $OP^{2}$ だけの式になる。あとは $OP$ を最小にする $s$ を探すだけである。

(1) より $PG = \frac{a - 2 OP}{3}$ なので

PG^{2} = \frac{∣ a ∣ ^{2} - 4 OP \cdot a + 4 OP ^{2}}{9} = \frac{16 - 32 + 4 OP ^{2}}{9} = \frac{4 OP ^{2} - 16}{9}

である。したがって $PG$ が最小になるのは $OP$ が最小のときである。

$OP^{2}$ を計算する。

OP^{2} = (1 - s) b + s c^{2} = (1 - s)^{2} \cdot 9 + 2 s (1 - s) \cdot 6 + s^{2} \cdot 12 = 9 - 18 s + 9 s^{2} + 12 s - 12 s^{2} + 12 s^{2} = 9 s^{2} - 6 s + 9 = 9 (s - \frac{1}{3})^{2} + 8

である。 $s = \frac{1}{3}$ は $0 \leq s \leq 1$ の中にあるので、最小値は $OP^{2} = 8$ である。このとき

PG^{2} = \frac{4 \cdot 8 - 16}{9} = \frac{16}{9}

なので

PG_{m i n} = \frac{4}{3}

である（ $P$ が $BC$ を $1 : 2$ に内分する点のとき）。

座標で $P$ を辺 $BC$ 上に $40$ 万等分して動かすと、 $PG$ の最小は $1.333333333$ （ $s = 0.333332$ ）で、 $\frac{4}{3} = 1.333333333$ 、 $s = \frac{1}{3}$ と一致する。このとき $OP = 8 = 22$ である。