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東北大学　2024年度　前期日程　理系

第1問 2次関数・積分法の解答・解説

放物線の頂点・接線・解と係数の関係・面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $a > 0$ 、 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a^{2}$ とし、 $C : y = f (x)$ の頂点を $A$ 、直線 $OA$ と $C$ の交点のうち $A$ と異なるものを $P (p, f (p))$ 、原点 $O$ から $C$ へ引いた接線の接点を $Q (q, f (q))$ （ $q > 0$ ）とするとき、 $p, q$ を $a$ で表し、 $p > q$ を示す

答 $p = 4 a$ 、 $q = 2 a$ 。 $a > 0$ より $4 a > 2 a$

頂点は平方完成で出る。 $P$ は「直線 $OA$ と $C$ の連立」で、 $x = a$ （ $A$ ）が必ず解になるので因数分解できる。 $Q$ は「接線が原点を通る」を $q$ の方程式にする。

頂点。 平方完成すると

f (x) = (x - a)^{2} + 3 a^{2}

なので $A (a, 3 a^{2})$ である。 $a > 0$ より直線 $OA$ は

y = \frac{3 a ^{2}}{a} x = 3 a x

である。

$p$ 。 $C$ と連立して

x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = 3 a x, x^{2} - 5 a x + 4 a^{2} = 0, (x - a) (x - 4 a) = 0

である。 $x = a$ は $A$ なので、 $P$ の $x$ 座標は

p = 4 a

である。

$q$ 。 $f^{'} (x) = 2 x - 2 a$ なので、 $x = q$ における接線は

y = (2 q - 2 a) (x - q) + f (q)

である。これが原点を通るから、 $x = y = 0$ を入れて

0 = - q (2 q - 2 a) + q^{2} - 2 a q + 4 a^{2} = - q^{2} + 4 a^{2}

すなわち $q^{2} = 4 a^{2}$ である。 $q > 0$ 、 $a > 0$ だから

q = 2 a

である。 $a > 0$ より $p - q = 4 a - 2 a = 2 a > 0$ なので $p > q$ である。 $■$

$Q (2 a, 4 a^{2})$ 、 $P (4 a, 12 a^{2})$ である。 $OQ$ の傾きは $\frac{4 a ^{2}}{2 a} = 2 a = f^{'} (2 a)$ で、確かに接している。

$a = 2$ では $A (2, 12)$ 、 $P (8, 48)$ 、 $Q (4, 16)$ で、 $OP$ の傾き $6 = 3 a$ 、 $OQ$ の傾き $4 = f^{'} (4)$ だった。

$A$ は $C$ 上の点なので、直線 $OA$ と $C$ の連立では $x = a$ が必ず解になる。これを使えば因数分解が見える。

接点を文字でおいて「接線が原点を通る」と立てる。原点から接線を引く問題の定石である。

(2) $C$ の $q ≦ x ≦ p$ の部分、線分 $OP$ 、線分 $OQ$ で囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ で表す

答 $S = \frac{16 a ^{3}}{3}$

$0 ≦ x ≦ 2 a$ では上が $OP$ ・下が $OQ$ 、 $2 a ≦ x ≦ 4 a$ では上が $OP$ ・下が $C$ になる。2つに分けて積分するだけ。後半は $\frac{1}{6}$ 公式が使える形である。

a = 1/2 のときの様子。放物線 C の頂点が A、直線 OA と C のもう1つの交点が P、原点から引いた接線の接点が Q。網かけが求める面積 S。

$OP$ は $y = 3 a x$ 、 $OQ$ は $y = 2 a x$ である。まず上下を確かめる。

$f (x) - 2 a x = x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} = (x - 2 a)^{2} ≧ 0$ ： $C$ は接線 $OQ$ の上側（接点 $x = 2 a$ でのみ一致）
$f (x) - 3 a x = (x - a) (x - 4 a)$ ： $a ≦ x ≦ 4 a$ で $≦ 0$ 、つまり $C$ は直線 $OP$ の下側
$3 a x - 2 a x = a x ≧ 0$ （ $x ≧ 0$ ）： $OP$ は $OQ$ の上側

したがって、求める図形は上の境界が $OP$ 、下の境界が「 $0 ≦ x ≦ 2 a$ では $OQ$ 、 $2 a ≦ x ≦ 4 a$ では $C$ 」である。

S = \int_{0}^{2 a} (3 a x - 2 a x) d x + \int_{2 a}^{4 a} {3 a x - f (x)} d x

第1項。

\int_{0}^{2 a} a x d x = \frac{a ( 2 a ) ^{2}}{2} = 2 a^{3}

第2項。 $3 a x - f (x) = - (x - a) (x - 4 a)$ なので

\int_{2 a}^{4 a} (- x^{2} + 5 a x - 4 a^{2}) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{5 a}{2} x^{2} - 4 a^{2} x]_{2 a}^{4 a}

である。 $x = 4 a$ で $- \frac{64 a ^{3}}{3} + 40 a^{3} - 16 a^{3} = \frac{8 a ^{3}}{3}$ 、 $x = 2 a$ で $- \frac{8 a ^{3}}{3} + 10 a^{3} - 8 a^{3} = - \frac{2 a ^{3}}{3}$ なので、差は $\frac{10 a ^{3}}{3}$ である。よって

S = 2 a^{3} + \frac{10 a ^{3}}{3} = \frac{16 a ^{3}}{3}

である。

$a = 1$ で数値積分すると $5.3333333333$ 、 $\frac{16}{3} = 5.3333333333$ と一致した。

境界が $x = 2 a$ で切り替わる。 $OQ$ は接線なので $x > 2 a$ では $C$ より下に行き、下側の境界にならない。

$S$ が $a^{3}$ に比例するのは、図形が $a$ 倍の相似拡大で移り合うから。次元を見る検算になる。

(3) $S = \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求める

答 $a = \frac{1}{2}$

(2) の式に代入するだけ。 $a > 0$ なので3乗根は1つに決まる。

(2) より

\frac{16 a ^{3}}{3} = \frac{2}{3}, 16 a^{3} = 2, a^{3} = \frac{1}{8}

である。 $a$ は実数なので $a = \frac{1}{2}$ であり、これは $a > 0$ を満たす。よって

a = \frac{1}{2}

である。

$a = 0.5$ で数値積分すると面積は $0.6666666667 = \frac{2}{3}$ だった。

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問題文について

(1)a>0、f(x)=x2−2ax+4a2 とし、C:y=f(x) の頂点を A、直線 OA と C の交点のうち A と異なるものを P(p,f(p))、原点 O から C へ引いた接線の接点を Q(q,f(q))（q>0）とするとき、p,q を a で表し、p>q を示す

(2)C の q≦x≦p の部分、線分 OP、線分 OQ で囲まれた図形の面積 S を a で表す

(3)S=32​ となるときの a の値を求める

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(2) $C$ の $q ≦ x ≦ p$ の部分、線分 $OP$ 、線分 $OQ$ で囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ で表す

(3) $S = \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求める