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東北大学　2024年度　前期日程　理系

第5問微分法の解答・解説

商の微分・中間値の定理・グラフの概形・指数の等式の整数解当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x ≧ 2$ で $f (x) = \frac{lo g ( 2 x - 3 )}{x}$ とするとき、 $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x ^{2} ( 2 x - 3 )}$ となる $g (x)$ を求める

答 $g (x) = 2 x - (2 x - 3) lo g (2 x - 3)$

商の微分をして、分母を $x^{2} (2 x - 3)$ の形にそろえる。

商の微分法から

f^{'} (x) = \frac{\frac{2}{2 x - 3} \cdot x - lo g ( 2 x - 3 )}{x ^{2}}

である。分子・分母に $2 x - 3$ を掛けて

f^{'} (x) = \frac{2 x - ( 2 x - 3 ) lo g ( 2 x - 3 )}{x ^{2} ( 2 x - 3 )}

となるので

g (x) = 2 x - (2 x - 3) lo g (2 x - 3)

である。

$x = 3$ で $f^{'} (3)$ を数値微分すると $g (3) / (9 \cdot 3)$ と一致した。

$x ≧ 2$ では $2 x - 3 ≧ 1 > 0$ なので、 $lo g (2 x - 3)$ も分母 $x^{2} (2 x - 3)$ も問題なく定義される。

(2) $g (α) = 0$ を満たす $2$ 以上の実数 $α$ がただ1つ存在することを示す

答 $g^{'} (x) = - 2 lo g (2 x - 3)$ より $g$ は $x ≧ 2$ で減少、 $g (2) = 4 > 0$ 、 $x$ を大きくすると $g < 0$

$g$ を微分すると $lo g$ だけが残り、符号がすぐ分かる。あとは両端の符号を押さえて中間値の定理を使う。

単調性。 積の微分から

g^{'} (x) = 2 - {2 lo g (2 x - 3) + (2 x - 3) \cdot \frac{2}{2 x - 3}} = - 2 lo g (2 x - 3)

である。 $x > 2$ では $2 x - 3 > 1$ なので $lo g (2 x - 3) > 0$ 、よって $g^{'} (x) < 0$ である。つまり $g$ は $x ≧ 2$ で狭義単調減少である。

両端の符号。 $g (2) = 4 - 1 \cdot lo g 1 = 4 > 0$ である。一方、 $2 x - 3 ≧ e^{2}$ となる $x$ （たとえば $x = \frac{e ^{2} + 3}{2}$ 以上）では $lo g (2 x - 3) ≧ 2$ なので

g (x) ≦ 2 x - 2 (2 x - 3) = - 2 x + 6

である。 $e < 3$ より $\frac{e ^{2} + 3}{2} < 6$ なので、たとえば $x = 6$ をとれば $2 x - 3 = 9 > e^{2}$ （ $e < 3$ より $e^{2} < 9$ ）で、 $g (6) ≦ - 6 < 0$ である。

結論。 $g$ は $[2, 6]$ で連続、 $g (2) > 0 > g (6)$ なので中間値の定理よりこの区間に零点がある。また $g$ は $x ≧ 2$ で狭義単調減少なので零点は高々1つである。よって $g (α) = 0$ となる $2$ 以上の実数 $α$ はただ1つ存在する。 $■$

$y = 2 x - 3$ とおくと $g = 0$ は $lo g y = 1 + \frac{3}{y}$ と書ける。数値では $y = 4.9706 \dots$ 、 $α = 3.9853 \dots$ で、 $α$ は $4$ のすぐ下にある。(4) で $4$ と $α$ の大小が効く。

2分法で解くと $α = 3.985312880$ 、 $g (α) = - 8.9 \times 1 0^{- 16}$ だった。

$g^{'}$ の計算で $(2 x - 3) \cdot \frac{2}{2 x - 3} = 2$ がちょうど $+ 2$ を打ち消す。ここがきれいに決まる。

「ただ1つ」には存在（中間値の定理）と一意性（単調性）の両方が要る。

(3) $f (x)$ （ $x ≧ 2$ ）の増減と $x \to \infty lim f (x)$ を調べ、 $y = f (x)$ のグラフの概形を描く

答 $2 ≦ x < α$ で増加、 $x > α$ で減少。最大値 $f (α) = \frac{2}{2 α - 3}$ 、 $x \to \infty lim f (x) = 0$

(1)(2) から $f^{'}$ の符号は $g$ の符号と同じで、 $α$ の前後で正から負に変わる。極大値は $g (α) = 0$ を使うと根号も $lo g$ も残らない形になる。

増減。 $x ≧ 2$ では $x^{2} (2 x - 3) > 0$ なので、 $f^{'}$ の符号は $g$ の符号と一致する。(2) より $g$ は減少して $α$ で $0$ になるから

$2 ≦ x < α$ ： $g > 0$ なので $f^{'} > 0$ 、 $f$ は増加
$x = α$ ： $f^{'} = 0$
$x > α$ ： $g < 0$ なので $f^{'} < 0$ 、 $f$ は減少

である。よって $f$ は $x = α$ で最大になる。

最大値。 $g (α) = 0$ は $2 α = (2 α - 3) lo g (2 α - 3)$ 、すなわち

lo g (2 α - 3) = \frac{2 α}{2 α - 3}

である。これを $f$ に入れると

f (α) = \frac{1}{α} \cdot \frac{2 α}{2 α - 3} = \frac{2}{2 α - 3}

である。

極限と端点。 $f (2) = \frac{lo g 1}{2} = 0$ である。また $t = 2 x - 3 \to \infty$ とすると

f (x) = \frac{lo g t}{\frac{t + 3}{2}} = \frac{2}{t + 3} lo g t = \frac{2 t}{t + 3} \cdot \frac{lo g t}{t} ⟶ 2 \cdot 0 = 0

なので $x \to \infty lim f (x) = 0$ である。 $x > 2$ では $lo g (2 x - 3) > 0$ だから $f > 0$ である。概形は次のようになる。

y = f(x) = log(2x-3)/x （x ≧ 2）の概形。(2, 0) から増加して x = α（≒3.985）で最大値 2/(2α-3) をとり、その後は減少して 0 に近づく。縦方向は横方向より大きく拡大してある。

$f (α) = 0.402363826$ と $\frac{2}{2 α - 3} = 0.402363826$ が一致した。 $f (100) = \frac{lo g 197}{100} = 0.0528$ と、確かに $0$ へ近づいた。

最大値は $\frac{lo g ( 2 α - 3 )}{α}$ のままにせず、 $g (α) = 0$ を使って $\frac{2}{2 α - 3}$ に直す。

$x \to \infty$ の極限は、問題が与えている $\frac{lo g t}{t} \to 0$ の形に持ち込む。

(4) $2 ≦ m < n$ を満たす整数の組 $(m, n)$ で $(2 m - 3)^{n} = (2 n - 3)^{m}$ が成り立つものをすべて求める

答 $(m, n) = (3, 6)$

両辺の対数をとると $f (m) = f (n)$ になる。(3) のグラフから、 $f$ が同じ値を2回とるのは「増加部分に1つ、減少部分に1つ」のときだけ。 $α < 4$ なので増加部分の整数は $2, 3$ しかなく、 $m$ の候補がすぐ絞れる。

$m ≧ 2$ より $2 m - 3 ≧ 1 > 0$ 、 $2 n - 3 > 0$ なので両辺の自然対数をとれて

n lo g (2 m - 3) = m lo g (2 n - 3), \frac{lo g ( 2 m - 3 )}{m} = \frac{lo g ( 2 n - 3 )}{n}

すなわち

f (m) = f (n)

である。

$α$ をはさむ。 (3) より $f$ は $[2, α]$ で狭義増加、 $[α, \infty)$ で狭義減少である。まず $α$ の位置を整数のべきの比較だけで押さえる。

f (3) = \frac{lo g 3}{3}, f (4) = \frac{lo g 5}{4}, f (5) = \frac{lo g 7}{5}

$f (3) < f (4) ⟺ 4 lo g 3 < 3 lo g 5 ⟺ 3^{4} < 5^{3} ⟺ 81 < 125$ （真）
$f (4) > f (5) ⟺ 5 lo g 5 > 4 lo g 7 ⟺ 5^{5} > 7^{4} ⟺ 3125 > 2401$ （真）

$α ≦ 3$ なら $f$ は $[3, 4]$ で減少して $f (3) > f (4)$ となり1つめに反する。 $α ≧ 5$ なら $f$ は $[4, 5]$ で増加して $f (4) < f (5)$ となり2つめに反する。よって

3 < α < 5

である。

$m$ の絞り込み。 $m < n$ で $f (m) = f (n)$ となるには、 $m$ と $n$ が同じ単調区間にあってはいけない（狭義単調なので値が一致しない）。とくに $m < α < 5$ だから $m$ は $2, 3, 4$ のいずれかで、 $n > α > 3$ だから $n ≧ 4$ である。

$m = 2$ は不適。 $f (2) = \frac{lo g 1}{2} = 0$ で、 $f (n) = 0$ となるのは $lo g (2 n - 3) = 0$ 、つまり $n = 2$ のときだけである。 $n > m = 2$ に反する。

$m = 4$ も不適。 $n > 4$ より $n ≧ 5$ である。 $α < 5$ なので $f$ は $[5, \infty)$ で減少し、 $f (n) ≦ f (5)$ である。上で見たとおり $f (5) < f (4)$ だから $f (n) < f (4)$ となり、 $f (m) = f (n)$ は成り立たない。

$m = 3$ 。 $lo g 9 = 2 lo g 3$ より

f (6) = \frac{lo g 9}{6} = \frac{2 lo g 3}{6} = \frac{lo g 3}{3} = f (3)

なので $n = 6$ は条件を満たす。 $n$ は $α$ より大きい側にあり、そこで $f$ は狭義減少だから、 $f (n) = f (3)$ をみたす $n (> α)$ はこの1つしかない。したがって

(m, n) = (3, 6)

だけが答えである。実際 $(2 \cdot 3 - 3)^{6} = 3^{6} = 729$ 、 $(2 \cdot 6 - 3)^{3} = 9^{3} = 729$ で成り立つ。

$3^{6} = 9^{3}$ は $(3^{2})^{3} = 3^{6}$ という当たり前の等式で、 $2 m - 3$ と $2 n - 3$ がちょうど $3$ と $9$ になる $m, n$ を拾ったものである。 $x^{y} = y^{x}$ の整数解が $(2, 4)$ だけ、という有名な問題と同じ構図になっている。

$2 ≦ m < n ≦ 59$ を全探索すると $(3, 6)$ だけだった。 $f (3) = f (6) = 0.366204096$ で一致している。

$f (m) = f (n)$ に直してグラフで考える。指数のまま扱うと手がかりがない。

$f (3)$ と $f (4)$ 、 $f (4)$ と $f (5)$ の比較は、対数を払って整数のべき（ $81 < 125$ 、 $3125 > 2401$ ）にすれば暗算でできる。

$m = 2$ と $m = 4$ を落とさずに潰す。とくに $m = 2$ は $f (2) = 0$ で、 $f (n) = 0$ が $n = 2$ しかないことから除かれる。

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問題文について

(1)x≧2 で f(x)=xlog(2x−3)​ とするとき、f′(x)=x2(2x−3)g(x)​ となる g(x) を求める

(2)g(α)=0 を満たす 2 以上の実数 α がただ1つ存在することを示す

(3)f(x)（x≧2）の増減と x→∞lim​f(x) を調べ、y=f(x) のグラフの概形を描く

(4)2≦m<n を満たす整数の組 (m,n) で (2m−3)n=(2n−3)m が成り立つものをすべて求める

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