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東北大学　2024年度　前期日程　理系

第6問積分法・空間図形の解答・解説

円錐の展開図・極方程式・はさみうちと面積・半角の置換当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x y$ 平面上の円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 、円板 $D$ を底面、 $P (0, 0, 1)$ を頂点とする円錐を $K$ とし、平面 $H : z = x$ と $K$ の側面の交わりを $E$ とする。 $Q (cos θ, sin θ, 0)$ （ $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ ）に対し、線分 $PQ$ と $E$ の共有点を $R$ とするとき、 $PR$ の長さ $r (θ)$ を $θ$ で表す

答 $r (θ) = \frac{2}{1 + cos θ}$

線分 $PQ$ を媒介変数で書き、 $z = x$ を代入して媒介変数を決めるだけ。 $∣ PQ ∣$ は母線の長さ $2$ で $θ$ によらない。

線分 $PQ$ 上の点は $0 ≦ s ≦ 1$ を使って

P + s (Q - P) = (s cos θ, s sin θ, 1 - s)

と書ける。 $H : z = x$ に入れると

1 - s = s cos θ, s (1 + cos θ) = 1, s = \frac{1}{1 + cos θ}

である。 $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ では $cos θ ≧ 0$ なので $1 ≦ 1 + cos θ ≦ 2$ 、したがって $\frac{1}{2} ≦ s ≦ 1$ で確かに線分上にある。

母線の長さは

∣ PQ ∣ = cos^{2} θ + sin^{2} θ + 1 = 2

なので

r (θ) = PR = s ∣ PQ ∣ = \frac{2}{1 + cos θ}

である。

$θ = \pm \frac{π}{2}$ では $s = 1$ で $R = Q$ 、つまり $R$ は $A (0, - 1, 0)$ と $B (0, 1, 0)$ になる。 $θ = 0$ では $r = \frac{2}{2}$ で母線のちょうど半分である。

$θ = 1$ で $R = (0.350777, 0.546302, 0.350777)$ 、 $z = x$ を満たし $PR = 0.918140262 = \frac{2}{1 + cos 1}$ だった。

$r (θ)$ は $PR$ の長さ（母線に沿った距離）であって、 $R$ の $z$ 座標や $x y$ 平面への射影ではない。

(2) $K$ の側面のうち、 $E$ の $A$ から $R$ までの部分、線分 $PA$ 、線分 $PR$ で囲まれた部分の面積を $S (θ)$ とするとき、 $0 ≦ θ < θ + h ≦ \frac{π}{2}$ で $\frac{h { r ( θ ) } ^{2}}{2 2} ≦ S (θ + h) - S (θ) ≦ \frac{h { r ( θ + h ) } ^{2}}{2 2}$ を示す

答側面を展開すると、増分は中心角 $\frac{h}{2}$ の2つの扇形にはさまれる

円錐の側面は、母線で切って平らに広げれば半径 $2$ の扇形になる。側面上の長さと面積は展開してもそのまま。展開図では $PR$ が極座標の動径、 $θ$ が偏角に比例するので、増分が扇形ではさめる。

円錐 K の側面の展開図（x ≧ 0 の側だけ）。頂点 P を中心とする半径 √2 の扇形で、底面の角 θ は展開図では偏角 ψ = (θ + π/2)/√2 に対応する。内側の曲線が E、外側の弧が円 C。網かけが (3) の T。

展開図。 $K$ の母線の長さは $2$ 、底面の円周は $2 π$ である。側面を母線 $PA$ で切って平面に広げると、半径 $2$ の扇形になる。側面上の長さも面積も展開で変わらない。

底面の弧の長さは保たれるので、底面で $A$ から角 $θ + \frac{π}{2}$ だけ回った位置の母線は、展開図では偏角

ψ = \frac{θ + \frac{π}{2}}{2}

の向きに来る（底面の弧 $1 \cdot (θ + \frac{π}{2})$ と展開図の弧 $2 ψ$ が等しい）。 $R$ は $P$ から母線に沿って $r (θ)$ の位置にあるから、展開図では極座標 $(r (θ), ψ)$ の点である。 $θ$ が $h$ 増えると $ψ$ は $\frac{h}{2}$ 増える。

はさみうち。 $S (θ + h) - S (θ)$ は、展開図で偏角が $ψ (θ)$ から $ψ (θ) + \frac{h}{2}$ までの、 $P$ を頂点として曲線 $E$ までの部分の面積である。

$0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ で $cos θ$ は減少するので $r (θ) = \frac{2}{1 + cos θ}$ は増加する。よってこの偏角の範囲では

r (θ) ≦ r (τ) ≦ r (θ + h) (θ ≦ τ ≦ θ + h)

である。したがって、この部分は「中心 $P$ 、半径 $r (θ)$ 、中心角 $\frac{h}{2}$ の扇形」を含み、「中心 $P$ 、半径 $r (θ + h)$ 、中心角 $\frac{h}{2}$ の扇形」に含まれる。扇形の面積は $\frac{1}{2} (半径)^{2} (中心角)$ なので

\frac{1}{2} {r (θ)}^{2} \cdot \frac{h}{2} ≦ S (θ + h) - S (θ) ≦ \frac{1}{2} {r (θ + h)}^{2} \cdot \frac{h}{2}

すなわち

\frac{h { r ( θ ) } ^{2}}{2 2} ≦ S (θ + h) - S (θ) ≦ \frac{h { r ( θ + h ) } ^{2}}{2 2}

である。 $■$

この不等式を $h$ で割って $h \to 0$ とすると $S^{'} (θ) = \frac{{ r ( θ ) } ^{2}}{2 2}$ になる。極座標の面積公式 $\frac{1}{2} \int ρ^{2} d ψ$ を、偏角の取り替え $d ψ = \frac{d θ}{2}$ で書き直したものである。

$(θ, h) = (0.5, 1.0)$ では $0.20057967 ≦ 0.33241348 ≦ 0.61676429$ となり、5通りの組すべてで成り立った。

展開すると偏角は $θ$ ではなく $\frac{θ + π /2}{2}$ になる。母線が $2$ なので、弧長をそろえるために $2$ で割る。

$r$ が $[0, \frac{π}{2}]$ で増加であることを使って上下からはさむ。増減を確かめずに不等号の向きを決めない。

(3) $K$ の側面のうち、円 $C$ の $x ≧ 0$ の部分と曲線 $E$ により囲まれた部分の面積 $T$ を求める

答 $T = \frac{2 ( 3 π - 4 )}{6}$

(2) の展開図でそのまま考える。 $T$ は「半径 $2$ ・中心角 $\frac{π}{2}$ の扇形」から「 $E$ の内側の部分」を引いたもの。後者は $\frac{1}{2 2} \int r^{2} d θ$ で、半角の公式で $sec^{4}$ の積分になる。

円 $C$ の $x ≧ 0$ の部分は $- \frac{π}{2} ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ に対応する。展開図では、偏角 $ψ$ が $0$ から

ψ (\frac{π}{2}) = \frac{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{2}

まで動く部分である。 $T$ は、この範囲での「半径 $2$ の扇形」から「 $E$ より内側の部分」を引いたものだから

T = \frac{1}{2} (2)^{2} \cdot \frac{π}{2} - {S (\frac{π}{2}) - S (- \frac{π}{2})} = \frac{π}{2} - \frac{1}{2 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {r (θ)}^{2} d θ

である（(2) の注より $S^{'} (θ) = \frac{{ r ( θ ) } ^{2}}{2 2}$ 、かつ $S (- \frac{π}{2}) = 0$ ）。

積分。 $1 + cos θ = 2 cos^{2} \frac{θ}{2}$ を使うと

{r (θ)}^{2} = \frac{2}{( 1 + cos θ ) ^{2}} = \frac{2}{4 cos ^{4} \frac{θ}{2}} = \frac{1}{2 cos ^{4} \frac{θ}{2}}

である。偶関数なので

I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {r (θ)}^{2} d θ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{2 cos ^{4} \frac{θ}{2}} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{cos ^{4} \frac{θ}{2}}

である。 $u = \frac{θ}{2}$ （ $d θ = 2 d u$ 、 $u$ は $0$ から $\frac{π}{4}$ ）とおくと

I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{cos ^{4} u}

である。 $\frac{1}{cos ^{4} u} = \frac{1}{cos ^{2} u} \cdot \frac{1}{cos ^{2} u} = (1 + tan^{2} u) \cdot \frac{1}{cos ^{2} u}$ なので、 $w = tan u$ とおくと $d w = \frac{d u}{cos ^{2} u}$ で

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{cos ^{4} u} = \int_{0}^{1} (1 + w^{2}) d w = [w + \frac{w ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{4}{3}

である。よって $I = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ である。

仕上げ。

T = \frac{π}{2} - \frac{1}{2 2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1}{2} (π - \frac{4}{3}) = \frac{3 π - 4}{3 2} = \frac{2 ( 3 π - 4 )}{6}

である（数値では $1.2786 \dots$ ）。

側面全体の面積は $π \cdot 1 \cdot 2 = 2 π = 4.443$ で、その半分（ $x ≧ 0$ 側）が $\frac{π}{2} = 2.221$ 。そこから $E$ の内側 $0.943$ を引いて $1.279$ になる。

$\int_{- π /2}^{π /2} r^{2} d θ$ を数値積分すると $2.6666666667 = \frac{8}{3}$ 、 $T = 1.2786324275$ で $\frac{2 ( 3 π - 4 )}{6} = 1.2786324275$ と一致した。

展開図の扇形の中心角は $\frac{π}{2}$ （ $π$ ではない）。母線 $2$ で割る。

$\frac{1}{( 1 + cos θ ) ^{2}}$ は半角で $\frac{1}{4 cos ^{4} ( θ /2 )}$ に直すのが早い。問題の $tan \frac{θ}{2} = u$ の置換もここを指している。

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問題文について

(2)K の側面のうち、E の A から R までの部分、線分 PA、線分 PR で囲まれた部分の面積を S(θ) とするとき、0≦θ<θ+h≦2π​ で 22​h{r(θ)}2​≦S(θ+h)−S(θ)≦22​h{r(θ+h)}2​ を示す

(3)K の側面のうち、円 C の x≧0 の部分と曲線 E により囲まれた部分の面積 T を求める

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